Questão 9 (desafio) - Considere dois números reais cuja soma é igual a 6. Qual é o maior valor que o produto desses dois números pode assumir?
Passo 1
O enunciado pede: “Considere dois números reais cuja soma é igual a
. Qual é o maior valor que o produto desses dois números pode assumir?”\n\nInformações dadas:
- Dois números reais, que chamo de
e . - Soma conhecida:
. - Queremos maximizar o produto
.
Passo 2
Vamos traduzir a informação para uma expressão dependente de uma única variável, porque é mais fácil maximizar uma função de uma variável do que de duas. Como
, podemos escrever uma variável em função da outra. Escolho eliminar
:
Passo 3
Escrevo o produto
em função de
usando a expressão de
do passo anterior:
Passo 4
Faço a multiplicação e escrevo
como um polinômio para visualizar melhor sua forma:
Passo 5
Observação sobre a forma de
: é uma função quadrática em
da forma
. Funções quadráticas com coeficiente de
negativo têm um máximo (são parábolas voltadas para baixo). Uma técnica bem prática e elementar para encontrar o máximo é completar o quadrado. Vou explicar e aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 6
Completar o quadrado para transformar
numa forma do tipo
. Primeiro fatoro o sinal negativo:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. A fórmula padrão:
. Substituo isso:
Passo 7
Simplifico a expressão obtida:
Esta forma é muito informativa: o termo
é sempre menor ou igual a
porque
para todo
. Então a maior coisa que
pode ser é
, ocorrendo quando
.
Passo 8
Concluo a partir do passo anterior que o máximo de
ocorre quando
, isto é, quando
. Pela condição
, isso dá
. Substituindo na expressão de
obtemos o valor máximo:
Passo 9
Verificação e reforço didático (AM-GM): outra forma, mais curta e também elemental, é usar a desigualdade entre média aritmética e média geométrica para números não-negativos. Se assumirmos
e
não-negativos (justificativa: se um fosse negativo e o outro maior que
, o produto seria negativo, logo não poderia ser máximo), então
Como
, temos
, portanto
, com igualdade quando
. Isso confirma o resultado do método do completamento do quadrado.
Passo 10
Resumo final do raciocínio prático para a prova: escreva
, forme
, complete o quadrado para achar
e observe que o máximo é
em
. Força aí — é um problema clássico: soma fixa, produto máximo quando os números são iguais.