Questão 9 (desafio) - Considere dois números reais cuja soma é igual a 6. Qual é o maior valor que o produto desses dois números pode assumir?

Passo 1

O enunciado pede: “Considere dois números reais cuja soma é igual a 6. Qual é o maior valor que o produto desses dois números pode assumir?”\n\nInformações dadas:
  • Dois números reais, que chamo de x e y.
  • Soma conhecida: x+y=6.
  • Queremos maximizar o produto xy.

Passo 2

Vamos traduzir a informação para uma expressão dependente de uma única variável, porque é mais fácil maximizar uma função de uma variável do que de duas. Como x+y=6, podemos escrever uma variável em função da outra. Escolho eliminar y:
y = 6 - x.

Passo 3

Escrevo o produto xy em função de x usando a expressão de y do passo anterior:
P(x)=x\cdot y = x(6-x).

Passo 4

Faço a multiplicação e escrevo P(x) como um polinômio para visualizar melhor sua forma:
P(x)=6x - x^{2}.

Passo 5

Observação sobre a forma de P(x): é uma função quadrática em x da forma -x^{2}+6x. Funções quadráticas com coeficiente de x^{2} negativo têm um máximo (são parábolas voltadas para baixo). Uma técnica bem prática e elementar para encontrar o máximo é completar o quadrado. Vou explicar e aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 6

Completar o quadrado para transformar -x^{2}+6x numa forma do tipo -(\text{quadrado}) + \text{constante}. Primeiro fatoro o sinal negativo:
P(x)=-(x^{2}-6x).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. A fórmula padrão: x^{2}-6x = x^{2}-6x+9-9=(x-3)^{2}-9. Substituo isso:
P(x)= -\bigl((x-3)^{2}-9\bigr).

Passo 7

Simplifico a expressão obtida:
P(x)= - (x-3)^{2} + 9.
Esta forma é muito informativa: o termo -(x-3)^{2} é sempre menor ou igual a 0 porque (x-3)^{2}\ge 0 para todo x. Então a maior coisa que -(x-3)^{2} pode ser é 0, ocorrendo quando (x-3)^{2}=0.

Passo 8

Concluo a partir do passo anterior que o máximo de P(x) ocorre quando (x-3)^{2}=0, isto é, quando x=3. Pela condição y=6-x, isso dá y=6-3=3. Substituindo na expressão de P obtemos o valor máximo:
P_{\max}= -0 + 9 = 9.

Passo 9

Verificação e reforço didático (AM-GM): outra forma, mais curta e também elemental, é usar a desigualdade entre média aritmética e média geométrica para números não-negativos. Se assumirmos x e y não-negativos (justificativa: se um fosse negativo e o outro maior que 6, o produto seria negativo, logo não poderia ser máximo), então
\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}.
Como x+y=6, temos \frac{6}{2}=3 \ge \sqrt{xy}, portanto xy \le 9, com igualdade quando x=y=3. Isso confirma o resultado do método do completamento do quadrado.

Passo 10

Resumo final do raciocínio prático para a prova: escreva y=6-x, forme P(x)=6x-x^{2}, complete o quadrado para achar P(x)=-(x-3)^{2}+9 e observe que o máximo é 9 em x=3,y=3. Força aí — é um problema clássico: soma fixa, produto máximo quando os números são iguais.

Resposta

9

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