Questão 7 - O pátio de esportes do Campus Arrozal de um Instituto Federal é retangular, com 100 m de comprimento e 50 m de largura, representado pelo retângulo ABCD desta figura.
Alberto e Bruno são dois alunos, que estão praticando esportes no pátio. Alberto caminha do ponto A ao ponto C pela diagonal do retângulo e volta ao ponto de partida pelo mesmo caminho. Bruno parte do ponto B, dá uma volta completa no pátio, andando pelas linhas laterais, e volta ao ponto de partida. Assim, considerando \sqrt{5}=2,24, afirma-se que Bruno andou quantos metros a mais do que Alberto?

Passo 1

O enunciado dá um pátio retangular ABCD com comprimento \,100\\ \text{m} e largura \,50\\ \text{m}. Dá também a informação numérica \sqrt{5}=2,24.
As informações relevantes do enunciado são:
  • O ponto A e o ponto C são vértices opostos do retângulo; Alberto caminha de A até C pela diagonal e volta pelo mesmo caminho.
  • Bruno parte do ponto B, percorre todo o contorno do retângulo (todas as arestas) e retorna a B.
    A pergunta é: quanto, em metros, Bruno andou a mais do que Alberto?

Passo 2

Para encontrar quanto Alberto andou precisamos calcular o comprimento da diagonal AC. Usamos o Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Se chamarmos a diagonal de d, temos:
d^2 = 100^2 + 50^2
Agora calculamos os quadrados:
d^2 = 10000 + 2500 = 12500.
Tomando a raiz quadrada:
d = \sqrt{12500}.
Para simplificar a raiz, fatoramos 12500 como 100\cdot125 e usamos propriedades de raízes:
d = \sqrt{100\cdot125} = 10\sqrt{125}.
E como 125=25\cdot5,
d = 10\sqrt{25\cdot5} = 10\cdot5\sqrt{5} = 50\sqrt{5}.

Passo 3

Explicando com calma: d é o comprimento da diagonal AC; então d=50\sqrt{5}. Alberto vai de A a C e volta pelo mesmo caminho, portanto a distância total percorrida por Alberto é duas vezes a diagonal:
\text{Alberto} = 2d = 2\cdot 50\sqrt{5} = 100\sqrt{5}.
Aqui cada termo representa: 100\sqrt{5} é a distância total em metros.

Passo 4

Agora calculamos a distância que Bruno percorre. Bruno dá uma volta completa pelo contorno do retângulo, ou seja, percorre o perímetro. A fórmula do perímetro P de um retângulo de comprimento l e largura w é
P = 2(l+w).
Substituindo l=100 e w=50:
\text{Bruno} = 2(100+50) = 2\cdot150 = 300\\ \text{m}.

Passo 5

O enunciado fornece \sqrt{5}=2,24. Vamos avaliar numericamente a distância de Alberto:
\text{Alberto} = 100\sqrt{5} = 100\cdot 2,24 = 224\\ \text{m}.
Aqui multipliquei 100 por 2,24 diretamente, que é uma conta simples de multiplicação sem necessidade de calculadora.

Passo 6

Agora calculamos a diferença entre o que Bruno percorreu e o que Alberto percorreu:
\text{Diferença} = \text{Bruno} - \text{Alberto} = 300 - 224 = 76\\ \text{m}.ç
Interpretação: Bruno andou 76\\ \text{m} a mais do que Alberto.

Resposta

\,76\\ \text{m}

Exercícios relacionados