Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
x^{2}-10 x+2 y-3 z^{2}=-21.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada pela equação
x^{2} - 10x + 2y - 3z^{2} = -21.
O conteúdo aqui é reconhecimento de quadrica: para identificar o tipo de superfície, vamos completar o quadrado em x e isolar y.

Passo 2

Complete o quadrado na parte em x:
x^{2} - 10x = (x - 5)^{2} - 25.
Substituindo na equação original, obtemos
(x-5)^{2} - 25 + 2y - 3z^{2} = -21 \quad\Longrightarrow\quad (x-5)^{2} + 2y - 3z^{2} = 4.

Passo 3

Isole y:
2y = 4 + 3z^{2} - (x-5)^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = 2 + \frac{3}{2}\,z^{2} - \frac{1}{2}\,(x-5)^{2}.

Passo 4

A forma
y - 2 = \frac{3}{2}\,z^{2} \;-\;\frac{1}{2}\,(x-5)^{2}
é a canônica de um paraboloide hiperbólico (superfície sela), pois os coeficientes de z^{2} e de (x-5)^{2} têm sinais opostos. O vértice fica em (5,2,0).

Passo 5

Para entender o formato de sela, veja as seções:
– Em planos z = z_{0} fixo surge uma parábola em x- y.
– Em planos x = x_{0} fixo surge outra parábola em y- z.
– Em planos y = y_{0} fixo surge uma hipérbole em x- z.
Isso confirma a curvatura de sela, abrindo positivamente em direção ao eixo z e negativamente ao longo do eixo x.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico (superfície sela) com equação em forma canônica
y - 2 = \frac{3}{2}\,z^{2} \;-\;\frac{1}{2}\,(x-5)^{2},
vértice em (5,2,0) e traços parabólicos em planos paralelos a x\!-\!y e y\!-\!z, e hiperbólicos em planos paralelos a x\!-\!z.

Exercícios relacionados