Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
y=\cos (z)+2.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
y = \cos(z) + 2.
O conteúdo aqui é o de superfícies definidas implicitamente e o uso de traços (cortes) para entender sua forma.

Passo 2

Note que a equação não envolve x. Isso significa que a superfície é obtida ao “extrudir” o gráfico da curva
y = 2 + \cos(z)
no plano yz ao longo de todo o eixo x.

Passo 3

No plano yz (por exemplo, em x=0) temos a curva
y = 2 + \cos(z),
que é uma senóide de amplitude 1, deslocada verticalmente em 2 e com período 2\pi. Os picos ocorrem em z = 2k\pi (com y=3) e os vales em z = (2k+1)\pi (com y=1).

Passo 4

Para cada valor fixo de z, a interseção da superfície com o plano z=\text{const} é a reta
y = 2 + \cos(z),
paralela ao eixo x. Logo, a curva senoidal do plano yz “vira” uma folha ondulada que se estende infinitamente em x.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe no plano yz a senóide centrada em y=2, variando entre 1 e 3 com período 2\pi.
  2. Imagine essa curva sendo prolongada em direção ao observador (eixo x), formando uma superfície “em ondas” constante ao longo de x.

Resposta

A superfície é um “lençol” ondulado, obtido ao extrudir a curva \,y=2+\cos(z)\, ao longo do eixo x. No plano yz é uma senóide de amplitude 1, deslocada para y=2 e de período 2\pi; ao prolongar essa curva paralelamente a x obtém-se a forma completa.

Exercícios relacionados