Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em
dada por
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e estudo de suas seções transversais.
Passo 2
Para colocar em forma canônica dividimos ambos os lados por
:
Ou seja,
Passo 3
Na forma
com
,
,
, vemos que há dois termos positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, cujo eixo principal é o eixo
.
Passo 4
Analisando as seções transversais:
— Para fixo, a equação vira
— Para
ou seja, elipses centradas na reta
, com semi-eixos
— Para
ou
fixos obtém-se uma hipérbole em planos verticais.
Passo 5
Os cones assintóticos surgem da equação homogênea
que dá a forma assintótica para
.
Passo 6
Esboço qualitativo: no plano
temos a elipse
. À medida que
cresce, as elipses se expandem, formando um “gargalo” mínimo em
e abrindo-se para cima e para baixo, característico de um hiperbolóide de uma folha.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha, alinhado ao eixo
, com seções em
formando elipses de semi-eixos
e
.