Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
3 x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
3x^2 + y^2 - 2z^2 = 1.
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e estudo de suas seções transversais.

Passo 2

Para colocar em forma canônica dividimos ambos os lados por 1:
\frac{x^2}{\tfrac{1}{3}} \;+\;\frac{y^2}{1}\;-\;\frac{z^2}{\tfrac{1}{2}} \;=\;1.
Ou seja,
\frac{x^2}{\tfrac{1}{3}} + \frac{y^2}{1} - \frac{z^2}{\tfrac{1}{2}} = 1.

Passo 3

Na forma
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
com a^2=\tfrac{1}{3}, b^2=1, c^2=\tfrac{1}{2}, vemos que há dois termos positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, cujo eixo principal é o eixo z.

Passo 4

Analisando as seções transversais:
— Para z=k fixo, a equação vira
3x^2 + y^2 = 1 + 2k^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{\tfrac{1+2k^2}{3}} + \frac{y^2}{1+2k^2} = 1,
ou seja, elipses centradas na reta z, com semi-eixos
a(k)=\sqrt{\frac{1+2k^2}{3}},\quad b(k)=\sqrt{1+2k^2}.
— Para x ou y fixos obtém-se uma hipérbole em planos verticais.

Passo 5

Os cones assintóticos surgem da equação homogênea
3x^2 + y^2 - 2z^2 = 0,
que dá a forma assintótica para \lvert z\rvert\to\infty.

Passo 6

Esboço qualitativo: no plano z=0 temos a elipse 3x^2+y^2=1. À medida que \lvert z\rvert cresce, as elipses se expandem, formando um “gargalo” mínimo em z=0 e abrindo-se para cima e para baixo, característico de um hiperbolóide de uma folha.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, alinhado ao eixo z, com seções em z=k formando elipses de semi-eixos \sqrt{(1+2k^2)/3} e \sqrt{1+2k^2}.

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