Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em
dada pela equação
O conteúdo aqui é o estudo de planos em
: identificar seu vetor normal, o fato de passar pela origem (pois o termo independente é zero) e como encontrar pontos que permitam desenhar o plano.
Passo 2
Para qualquer plano da forma
, o vetor
é normal ao plano. Aqui temos
logo o vetor normal é
Como
, o plano passa pela origem
.
Passo 3
Para esboçar o plano, precisamos de três pontos não colineares que satisfaçam
. Podemos obter pontos escolhendo valores de duas variáveis e resolvendo para a terceira:
-
Na reta de interseção com o plano
:
. Se tomarmos , então .
Isto dá o ponto. -
Na reta de interseção com o plano
:
. Se tomarmos , então .
Isto dá o ponto. -
Na reta de interseção com o plano
:
. Se tomarmos , então .
Isto dá o ponto.
Evidentemente o ponto
também pertence ao plano, mas para esboçar basta usar
,
e
.
Passo 4
No sistema de eixos cartesianos tridimensionais, plote:
- O ponto
num eixo positivo e negativo, - O ponto
num eixo positivo e negativo, - O ponto
no plano , mais longe no eixo e no negativo de .
Depois, una, e por um polígono (triângulo) e estenda essa face infinitamente em todas as direções dentro do próprio plano. O resultado é o esboço do plano .
Resposta
A superfície é um plano que passa pela origem e tem vetor normal
. Pode-se esboçar marcando três pontos como
e desenhando o triângulo
, estendendo-o infinitamente dentro do plano.