Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
2 x+3 y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada pela equação
2x + 3y + z = 0.
O conteúdo aqui é o estudo de planos em \mathbb{R}^3: identificar seu vetor normal, o fato de passar pela origem (pois o termo independente é zero) e como encontrar pontos que permitam desenhar o plano.

Passo 2

Para qualquer plano da forma ax + by + cz = d, o vetor (a,b,c) é normal ao plano. Aqui temos
a=2,\quad b=3,\quad c=1,\quad d=0,
logo o vetor normal é
\mathbf{n} = (2,3,1).
Como d=0, o plano passa pela origem (0,0,0).

Passo 3

Para esboçar o plano, precisamos de três pontos não colineares que satisfaçam 2x+3y+z=0. Podemos obter pontos escolhendo valores de duas variáveis e resolvendo para a terceira:
  1. Na reta de interseção com o plano y=0:
    2x + z = 0. Se tomarmos x=1, então z=-2.
    Isto dá o ponto A=(1,0,-2).
  2. Na reta de interseção com o plano x=0:
    3y + z = 0. Se tomarmos y=1, então z=-3.
    Isto dá o ponto B=(0,1,-3).
  3. Na reta de interseção com o plano z=0:
    2x + 3y = 0. Se tomarmos x=3, então y=-2.
    Isto dá o ponto C=(3,-2,0).
Evidentemente o ponto O=(0,0,0) também pertence ao plano, mas para esboçar basta usar A, B e C.

Passo 4

No sistema de eixos cartesianos tridimensionais, plote:
  • O ponto A=(1,0,-2) num eixo x positivo e z negativo,
  • O ponto B=(0,1,-3) num eixo y positivo e z negativo,
  • O ponto C=(3,-2,0) no plano z=0, mais longe no eixo x e no negativo de y.
    Depois, una A, B e C por um polígono (triângulo) e estenda essa face infinitamente em todas as direções dentro do próprio plano. O resultado é o esboço do plano 2x+3y+z=0.

Resposta

A superfície é um plano que passa pela origem e tem vetor normal \mathbf{n}=(2,3,1). Pode-se esboçar marcando três pontos como
A=(1,0,-2),\quad B=(0,1,-3),\quad C=(3,-2,0),
e desenhando o triângulo ABC, estendendo-o infinitamente dentro do plano.

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