Questão 4 - Determine a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}, P_{2} e P_{3} e cada um dos casos.
P_{1}=(6,3,2), P_{2}=(-2,1,5) \mathrm{e} P_{3}=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}=(6,3,2), P_{2}=(-2,1,5) e P_{3}=(0,0,0). O conteúdo envolvido é a equação de um plano no espaço, que se obtém encontrando primeiro um vetor normal ao plano via produto vetorial.

Passo 2

Para obter dois vetores que estejam contidos no plano, subtraímos as coordenadas dos pontos:
\vec{v_{1}} = P_{2} - P_{1} = (-2-6,\;1-3,\;5-2) = (-8,\,-2,\,3),
\vec{v_{2}} = P_{3} - P_{1} = (0-6,\;0-3,\;0-2) = (-6,\,-3,\,-2).

Passo 3

O vetor normal \vec{n} ao plano é o produto vetorial \vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}}. Calculando pela regra de Sarrus ou determinante 3\times 3:
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -8 & -2 & 3\\\\ -6 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \bigl(13,\,-34,\,12\bigr).

Passo 4

Na forma ponto-normal, a equação do plano é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_{3}\bigr)=0.
Como P_{3}=(0,0,0), isso simplifica para
13(x-0)-34(y-0)+12(z-0)=0,
ou seja
13x -34y +12z = 0.

Resposta

13x -34y +12z = 0.

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