Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser retirada. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja:
a) par?
e) nem par nem primo?
b) primo?
f] par mas não primo?
c) par ou primo?
g) primo mas não par?
d) par e primo?
a) par?
e) nem par nem primo?
b) primo?
f] par mas não primo?
c) par ou primo?
g) primo mas não par?
d) par e primo?
Passo 1
O enunciado diz que há uma urna com bolas numeradas de 1 a 17, todas igualmente prováveis de serem retiradas. Perguntas (na ordem dada):
a) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par?
e) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja nem par nem primo?
b) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja primo?
f] Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par mas não primo?
c) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par ou primo?
g) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja primo mas não par?
d) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par e primo?
a) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par?
e) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja nem par nem primo?
b) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja primo?
f] Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par mas não primo?
c) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par ou primo?
g) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja primo mas não par?
d) Qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja par e primo?
Informações relevantes dadas: o universo de resultados é o conjunto dos números
e todos os resultados têm probabilidade igual.
Passo 2
Definição e fórmula básica de probabilidade que vamos usar: se o espaço amostral tem
resultados igualmente prováveis e um evento
tem
resultados favoráveis, então a probabilidade de
é
Aqui
porque há 17 bolas (numeradas de
a
). Ou seja, para qualquer evento basta contar quantos números atendem à condição e dividir por
. Dica: conte explicitamente os elementos para evitar erro.
Passo 3
Contagem dos números pares entre
e
. Números pares são múltiplos de
. Listando:
Portanto
. Aplicando a fórmula,
Passo 4
Contagem dos números primos entre
e
. Lembrete:
não é primo; primo é número maior que
que só tem divisores
e ele mesmo. Listando os primos até
:
Logo
e
Passo 5
Interseção “par e primo”. Um número que é ao mesmo tempo par e primo só pode ser o
, já que todo outro par é divisível por
e maior que
, logo não primo. Portanto
Passo 6
União “par ou primo”. Use a fórmula de união de dois eventos:
Substituindo os contagens que já encontramos:
Logo
Explicação curta: contei todos os pares e todos os primos, mas como o
estava em ambos, subtraí 1 para não contar duas vezes.
Passo 7
Complemento: “nem par nem primo” significa os números que não são nem pares nem primos, ou seja, o complemento da união. Como há
números no total,
Portanto
Para conferir, podemos listar: os números entre
e
que não aparecem nas listas de pares nem de primos são
— veja que
não é primo,
e
, ambos ímpares compostos.
Passo 8
Evento “par mas não primo”: é a diferença entre o conjunto dos pares e o conjunto dos primos,
Logo
Interpretando: entre os 8 pares, apenas o
é primo, então restam 7 pares que não são primos.
Passo 9
Evento “primo mas não par”: é a diferença entre primos e pares,
Logo
Interpretação: dos 7 primos, somente o
é par; os outros 6 primos são ímpares.
Resposta
a)
e)
b)
f]
c)
g)
d)
e)
b)
f]
c)
g)
d)