Questão 1: Deslizar uma força ao longo da sua linha de ação
Uma força
atua sobre um corpo rígido no ponto
. Se deslocarmos
ao longo da sua linha de ação para um ponto diferente
no mesmo corpo, o efeito mecânico sobre o corpo rígido altera-se? Justifique.
Uma força
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma força
aplicada a um corpo rígido no ponto . - A mesma força é deslocada ao longo da sua linha de ação até um ponto diferente
do mesmo corpo (ou seja, e estão sobre a mesma reta que contém a direção de ).
A pergunta é: o efeito mecânico sobre o corpo rígido altera-se ao deslocar a força depara ? Precisa-se justificar a resposta.
Passo 2
O que significa “efeito mecânico” aqui? Para corpos rígidos, o efeito de uma força externa é descrito por:
- a própria força resultante
(que produz aceleração do centro de massa); e - o momento (torque) gerado por essa força em relação a um ponto de referência, normalmente o momento em relação à origem ou ao centro de massa, dado por
.
Vou explicar essas quantidades com calma: -
é o vetor posição do ponto de aplicação da força (por exemplo para o ponto ); ele vai da origem (ou do ponto de referência escolhido) até o ponto de aplicação. - O produto vetorial
(cross product) entre dois vetores produz um vetor ortogonal aos dois e cujo módulo é , onde é o ângulo entre e . Em particular, se é paralelo a então .
Portanto, para saber se o efeito mecânico muda ao deslocar a força, preciso comparar a força resultante (óbvio quenão muda de magnitude nem direção) e os momentos antes e depois do deslocamento.
Passo 3
Formalizando o argumento vetorialamente (passo a passo, sem pular contas):
- Defina o vetor unitário na direção de
:
- Como
está sobre a mesma linha de ação que passa por , os vetores posição estão relacionados por
para algum escalar
(positivo ou negativo dependendo do sentido). Aqui
tem dimensão de comprimento e representa o deslocamento ao longo da linha de ação.
- Calcule o momento da força em relação à origem nos dois pontos:
- Substituindo
:
- Como
é paralelo a , o produto vetorial . Logo
Portanto o momento da força em relação a qualquer ponto (usar outra origem só adiciona termos que também cancelam da mesma forma) não muda quando a força é deslocada ao longo da sua linha de ação.
Passo 4
Interpretação física e consequências (explicando como aplicar isso numa prova):
- A força resultante
permanece idêntica (mesma magnitude e direção). - O momento (torque) produzido pela força em relação a qualquer ponto também permanece inalterado, porque deslocamento paralelo à direção da força não altera o produto vetorial
. - Conclusão prática: dois sistemas de força que têm a mesma força
e cuja linha de ação coincide são equivalentes para o corpo rígido — produzem a mesma aceleração do centro de massa e a mesma aceleração angular (mesmo “wrench” externo).
Dica rápida para prova: se te pedirem se dá para “mover” uma força ao longo da sua linha de ação sem alterar o efeito no corpo rígido, responda que sim e mostre a identidadeusando .
Passo 5
Um exemplo numérico simples (para fixar): considere forças no plano, escrevendo o momento escalar
. Se o deslocamento
é paralelo à força
, então
e a variação do momento é
Ou seja, nenhum ganho extra de cálculo complicado: o momento não muda.
Resposta
Não. O efeito mecânico não altera: ao deslocar a força ao longo da sua linha de ação a força resultante
e o momento
permanecem iguais, porque o deslocamento é paralelo a
e anula o termo adicional no produto vetorial.