Questão 1: Deslizar uma força ao longo da sua linha de ação
Uma força \vec{F} atua sobre um corpo rígido no ponto A. Se deslocarmos \vec{F} ao longo da sua linha de ação para um ponto diferente B no mesmo corpo, o efeito mecânico sobre o corpo rígido altera-se? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma força \vec{F} aplicada a um corpo rígido no ponto A.
  • A mesma força é deslocada ao longo da sua linha de ação até um ponto diferente B do mesmo corpo (ou seja, A e B estão sobre a mesma reta que contém a direção de \vec{F}).
    A pergunta é: o efeito mecânico sobre o corpo rígido altera-se ao deslocar a força de A para B? Precisa-se justificar a resposta.

Passo 2

O que significa “efeito mecânico” aqui? Para corpos rígidos, o efeito de uma força externa é descrito por:
  • a própria força resultante \vec{F} (que produz aceleração do centro de massa); e
  • o momento (torque) gerado por essa força em relação a um ponto de referência, normalmente o momento em relação à origem ou ao centro de massa, dado por \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}.
    Vou explicar essas quantidades com calma:
  • \vec{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força (por exemplo \vec{r}_A para o ponto A); ele vai da origem (ou do ponto de referência escolhido) até o ponto de aplicação.
  • O produto vetorial \times (cross product) entre dois vetores \vec{a}\times\vec{b} produz um vetor ortogonal aos dois e cujo módulo é \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Em particular, se \vec{a} é paralelo a \vec{b} então \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}.
    Portanto, para saber se o efeito mecânico muda ao deslocar a força, preciso comparar a força resultante (óbvio que \vec{F} não muda de magnitude nem direção) e os momentos antes e depois do deslocamento.

Passo 3

Formalizando o argumento vetorialamente (passo a passo, sem pular contas):
  • Defina o vetor unitário na direção de \vec{F}:
\hat{u}=\frac{\vec{F}}{\|\vec{F}\|}.
  • Como B está sobre a mesma linha de ação que passa por A, os vetores posição estão relacionados por
\vec{r}_B=\vec{r}_A+\lambda\,\hat{u},
para algum escalar \lambda (positivo ou negativo dependendo do sentido). Aqui \lambda tem dimensão de comprimento e representa o deslocamento ao longo da linha de ação.
  • Calcule o momento da força em relação à origem nos dois pontos:
\vec{M}_A=\vec{r}_A\times\vec{F}, \qquad \vec{M}_B=\vec{r}_B\times\vec{F}.
  • Substituindo \vec{r}_B:
\vec{M}_B=(\vec{r}_A+\lambda\,\hat{u})\times\vec{F}=\vec{r}_A\times\vec{F}+\lambda\,\hat{u}\times\vec{F}.
  • Como \hat{u} é paralelo a \vec{F}, o produto vetorial \hat{u}\times\vec{F}=\vec{0}. Logo
\vec{M}_B=\vec{r}_A\times\vec{F}=\vec{M}_A.
Portanto o momento da força em relação a qualquer ponto (usar outra origem só adiciona termos que também cancelam da mesma forma) não muda quando a força é deslocada ao longo da sua linha de ação.

Passo 4

Interpretação física e consequências (explicando como aplicar isso numa prova):
  • A força resultante \vec{F} permanece idêntica (mesma magnitude e direção).
  • O momento (torque) produzido pela força em relação a qualquer ponto também permanece inalterado, porque deslocamento paralelo à direção da força não altera o produto vetorial \vec{r}\times\vec{F}.
  • Conclusão prática: dois sistemas de força que têm a mesma força \vec{F} e cuja linha de ação coincide são equivalentes para o corpo rígido — produzem a mesma aceleração do centro de massa e a mesma aceleração angular (mesmo “wrench” externo).
    Dica rápida para prova: se te pedirem se dá para “mover” uma força ao longo da sua linha de ação sem alterar o efeito no corpo rígido, responda que sim e mostre a identidade \vec{r}_B\times\vec{F}=\vec{r}_A\times\vec{F} usando \vec{r}_B=\vec{r}_A+\lambda\hat{u}.

Passo 5

Um exemplo numérico simples (para fixar): considere forças no plano, escrevendo o momento escalar M_z=xF_y-yF_x. Se o deslocamento (\Delta x,\Delta y) é paralelo à força (F_x,F_y), então (\Delta x,\Delta y)=\lambda(F_x,F_y)/\|\vec{F}\| e a variação do momento é
\Delta M_z=\Delta x\,F_y-\Delta y\,F_x=\lambda\frac{F_xF_y-F_yF_x}{\|\vec{F}\|}=0.
Ou seja, nenhum ganho extra de cálculo complicado: o momento não muda.

Resposta

Não. O efeito mecânico não altera: ao deslocar a força ao longo da sua linha de ação a força resultante \vec{F} e o momento \vec{r}\times\vec{F} permanecem iguais, porque o deslocamento é paralelo a \vec{F} e anula o termo adicional no produto vetorial.

Exercícios relacionados