Questão 1) Determinação da Transformada de Laplace (TL).
Determinar as transformadas de Laplace das funções
a seguir, sendo
.
Determinar as transformadas de Laplace das funções
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
válida para
.
Informações dadas: (constante),
. A tarefa é calcular
.
Informações dadas:
Passo 2
Apresento a definição que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é dada por
Aqui
é, em geral, um número complexo (
) e a integral impropria só converge quando a parte real de
for suficientemente grande (veremos qual requisito aparece no cálculo).
Passo 3
Substituímos
na integral da definição:
Expliquei cada termo: o fator
sai da integral por ser constante; sobra a integral do exponencial
.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria. A primitiva de
em relação a
é
(isso é válido enquanto
). Assim,
Passo 5
Avaliamo o limite
. Escrevendo
temos
cujo módulo é
. Para que
quando
precisamos de
. Então, se
,
e a integral anterior vale
.
Passo 6
Voltando ao fator
que estava fora da integral, obtemos
com a condição de convergência
.