Questão 1) Determinação da Transformada de Laplace (TL).
Determinar as transformadas de Laplace das funções f(t) a seguir, sendo t \geq 0.
f(t)=5

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função \,f(t)=5\,, válida para t\ge 0.
Informações dadas: \,f(t)=5 (constante), t\ge 0. A tarefa é calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s).

Passo 2

Apresento a definição que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui \,s é, em geral, um número complexo ( s=a+ib) e a integral impropria só converge quando a parte real de s for suficientemente grande (veremos qual requisito aparece no cálculo).

Passo 3

Substituímos f(t)=5 na integral da definição:
\mathcal{L}\{5\}(s)=\int_{0}^{\infty} 5\,e^{-s t}\,dt = 5\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Expliquei cada termo: o fator 5 sai da integral por ser constante; sobra a integral do exponencial e^{-s t}.

Passo 4

Calculamos a integral imprópria. A primitiva de e^{-s t} em relação a t é -\dfrac{1}{s}e^{-s t} (isso é válido enquanto s\neq 0). Assim,
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\Big[-\frac{1}{s}e^{-s t}\Big]_{t=0}^{t=T} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-sT} + \frac{1}{s}\right).

Passo 5

Avaliamo o limite \lim_{T\to\infty} e^{-sT}. Escrevendo s=a+ib temos
e^{-sT}=e^{-(a+ib)T}=e^{-aT}e^{-i b T},
cujo módulo é e^{-aT}. Para que e^{-sT}\to 0 quando T\to\infty precisamos de a=\Re(s)>0. Então, se \Re(s)>0,
\lim_{T\to\infty}e^{-sT}=0,
e a integral anterior vale \dfrac{1}{s}.

Passo 6

Voltando ao fator 5 que estava fora da integral, obtemos
\mathcal{L}\{5\}(s)=5\cdot\frac{1}{s}=\frac{5}{s},
com a condição de convergência \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{5\}(s)=\frac{5}{s},\\ \Re(s)>0

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