Questão 08: Encontre a Transformada de Fourier dos sinais:
\mathrm{x}(\mathrm{t})=\operatorname{ret}(0,2 \mathrm{t}). Apresente o resultado em termos da função Sinc e cite qual a propriedade que relaciona essas duas funções.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\operatorname{ret}(0,2t) e apresentar o resultado em termos da função Sinc, além de citar qual propriedade relaciona ret e Sinc. As informações que temos (e a interpretação que vou usar, que é a mais comum para esta notação) são:
  • Vou interpretar \operatorname{ret}(0,2t) como \operatorname{ret}(2t), isto é, a função retângulo centrada em 0 avaliada em 2t.
  • Vou usar a definição comum da função retângulo: \operatorname{ret}(t)=1 para |t|\leq \tfrac{1}{2} e \operatorname{ret}(t)=0 caso contrário. Assim \operatorname{ret}(2t)=1 para |t|\leq \tfrac{1}{4} e 0 fora disso.
  • Preciso fornecer a Transformada de Fourier em termos de Sinc e citar a propriedade que liga as duas funções.

Passo 2

Definição da Transformada de Fourier que vou usar (convenção de frequência f, muito comum em sinais):
X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt.
Definição da função Sinc que usarei:
\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u},\qquad \operatorname{sinc}(0)=1.
Isso evita ambiguidades de fatores de \pi.

Passo 3

Lembrando um par fundamental (que eu também vou deduzir rapidamente): para x(t)=\operatorname{ret}(t) (ou seja, 1 em [-1/2,1/2] e 0 fora),
X(f)=\int_{-1/2}^{1/2} e^{-j2\pi f t}\,dt.
Calculemos essa integral passo a passo:
\int_{-1/2}^{1/2} e^{-j2\pi f t}\,dt = \left[\frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f}\right]_{t=-1/2}^{t=1/2}.
O numerador fica
e^{-j2\pi f (1/2)}-e^{-j2\pi f (-1/2)} = e^{-j\pi f}-e^{j\pi f} = -2j\sin(\pi f).
Dividindo por -j2\pi f obtemos
X(f)=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}=\operatorname{sinc}(f).
Portanto, a transformada de \operatorname{ret}(t) é \operatorname{sinc}(f).

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de escala no tempo (time-scaling): se x(t)\leftrightarrow X(f) então
x(a t)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}\,X\!\left(\frac{f}{a}\right).
Essa propriedade expressa a ideia física: comprimir a função no tempo (fator a>1) estica sua transformada em frequência e introduz um ganho 1/|a|.
No nosso caso, x(t)=\operatorname{ret}(t) tem X(f)=\operatorname{sinc}(f). Queremos \operatorname{ret}(2t), isto é a=2. Aplicando a propriedade:
\operatorname{ret}(2t)\quad\longleftrightarrow\quad \frac{1}{2}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2}\right).

Passo 5

Para confirmar (e mostrar como fazer direto na prova sem depender só da propriedade), faço a integral direta usando o suporte de \operatorname{ret}(2t), que é |t|\leq \tfrac{1}{4}:
X(f)=\int_{-1/4}^{1/4} e^{-j2\pi f t}\,dt = \left[\frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f}\right]_{-1/4}^{1/4}.
O numerador dá
e^{-j2\pi f (1/4)}-e^{j2\pi f (1/4)} = -2j\sin\!\left(\frac{\pi f}{2}\right).
Dividindo por -j2\pi f obtemos
X(f)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi f}{2}\right)}{\pi f}.
Agora verificamos a igualdade entre as formas:
\frac{1}{2}\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\!\left(\pi\frac{f}{2}\right)}{\pi\frac{f}{2}} = \frac{\sin\!\left(\frac{\pi f}{2}\right)}{\pi f},
confirmando que a expressão obtida por escala e por integração direta coincide.

Passo 6

Resumo didático e interpretação intuitiva:
  • A função retângulo no tempo vira uma função sinc na frequência: ret \longleftrightarrow sinc. Essa é a relação básica entre as duas funções.
  • A propriedade que usamos para relacionar \operatorname{ret}(2t) com a Sinc é a propriedade de escala no tempo (time-scaling) da Transformada de Fourier: comprimir a função no tempo (multiplicar o argumento por 2) corresponde a expandir a função no domínio da frequência e multiplicar por 1/|2|.

Resposta

\displaystyle X(f)=\frac{1}{2}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2}\right)=\frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi f}{2}\right)}{\pi f}\n
Propriedade: a Transformada de Fourier do retângulo é a função Sinc; a ligação usada é a propriedade de escala no tempo (time-scaling): x(at)\leftrightarrow \tfrac{1}{|a|}X(f/a).

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