Questão 08: Encontre a Transformada de Fourier dos sinais:
. Apresente o resultado em termos da função Sinc e cite qual a propriedade que relaciona essas duas funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a Transformada de Fourier do sinal
e apresentar o resultado em termos da função Sinc, além de citar qual propriedade relaciona ret e Sinc. As informações que temos (e a interpretação que vou usar, que é a mais comum para esta notação) são:
- Vou interpretar
como , isto é, a função retângulo centrada em avaliada em . - Vou usar a definição comum da função retângulo:
para e caso contrário. Assim para e fora disso. - Preciso fornecer a Transformada de Fourier em termos de Sinc e citar a propriedade que liga as duas funções.
Passo 2
Definição da Transformada de Fourier que vou usar (convenção de frequência
, muito comum em sinais):
Definição da função Sinc que usarei:
Isso evita ambiguidades de fatores de
.
Passo 3
Lembrando um par fundamental (que eu também vou deduzir rapidamente): para
(ou seja, 1 em
e 0 fora),
Calculemos essa integral passo a passo:
O numerador fica
Dividindo por
obtemos
Portanto, a transformada de
é
.
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de escala no tempo (time-scaling): se
então
Essa propriedade expressa a ideia física: comprimir a função no tempo (fator
) estica sua transformada em frequência e introduz um ganho
.
No nosso caso,
tem
. Queremos
, isto é
. Aplicando a propriedade:
Passo 5
Para confirmar (e mostrar como fazer direto na prova sem depender só da propriedade), faço a integral direta usando o suporte de
, que é
:
O numerador dá
Dividindo por
obtemos
Agora verificamos a igualdade entre as formas:
confirmando que a expressão obtida por escala e por integração direta coincide.
Passo 6
Resumo didático e interpretação intuitiva:
- A função retângulo no tempo vira uma função sinc na frequência: ret
sinc. Essa é a relação básica entre as duas funções. - A propriedade que usamos para relacionar
com a Sinc é a propriedade de escala no tempo (time-scaling) da Transformada de Fourier: comprimir a função no tempo (multiplicar o argumento por ) corresponde a expandir a função no domínio da frequência e multiplicar por .
Resposta
Propriedade: a Transformada de Fourier do retângulo é a função Sinc; a ligação usada é a propriedade de escala no tempo (time-scaling):