Questão 07: Dado o sinal X(j w) :
a) Apresente a expressão de x(t).
b) Considerando que a resposta ao impulso h(t) é igual a 3 e^{-4 t} u(t), determine a resposta em frequência.
c) Dado que x(t) seja a entrada de um sistema, cuja resposta ao impulso é h(t), calcule Y(j w).
\mathrm{X}(\mathrm{jw})=\frac{j w+7}{(j w)^{2}+9 j w+20}

Passo 1

O enunciado dá a função de frequência
\mathrm{X}(j w)=\frac{j w+7}{(j w)^{2}+9 j w+20}
e pede três coisas:
  1. (a) Apresentar a expressão de x(t) (isto é, a transformada inversa de \mathrm{X}(j w)).
  2. (b) Considerando h(t)=3 e^{-4 t} u(t), determinar a resposta em frequência H(j w).
  3. (c) Sabendo que x(t) é entrada de um sistema com resposta ao impulso h(t), calcular \mathrm{Y}(j w).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão de \mathrm{X}(j w) está acima.
  • A resposta ao impulso dada é h(t)=3 e^{-4 t} u(t).
  • Preciso usar que, para sinais causais exponenciais, a transformada de Fourier tem forma \frac{1}{a+j w} (vai aparecer na resolução).
    A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Fatorar o denominador de \mathrm{X}(j w). Vou reescrever o denominador e fatorá-lo:
(j w)^{2}+9 j w+20 = (j w +4)(j w +5),
pois 4\cdot 5=20 e 4+5=9. Portanto
\mathrm{X}(j w)=\frac{j w+7}{(j w+4)(j w+5)}.

Passo 3

Fazer decomposição em frações parciais para escrever \mathrm{X}(j w)\) como soma de termos do tipo \(\frac{C}{j w+a}\), que têm inversa temporal simples. Proponho \[\mathrm{X}(j w)=\frac{A}{j w+4}+\frac{B}{j w+5}.
Multiplicando tudo por (j w+4)(j w+5) obtemos a identidade
j w+7 = A(j w+5)+B(j w+4).
Agrupando termos em j w e termos constantes:
j w+7 = (A+B) j w + (5A+4B).
Comparando coeficientes obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] 5A+4B = 7. \end{cases}
Resolvo: de A+B=1\] vem \(B=1-A. Substituindo em 5A+4B=7:
5A+4(1-A)=7 \Rightarrow 5A+4-4A=7 \Rightarrow A=3.
Então B=1-A=1-3=-2. Logo
\mathrm{X}(j w)=\frac{3}{j w+4}-\frac{2}{j w+5}.]

Passo 4

Lembrar e explicar a transformada direta/inversa que vou usar (aula rápida):
  • A transformada de Fourier unilateral (para sinais causais) ou a transformada bilateral, para exponenciais com parte real positiva do parâmetro, tem o par
\mathcal{F}\{e^{-a t}u(t)\} = \frac{1}{a + j w},
onde a é um número com \Re\{a\}>0 (isso garante convergência) e u(t) é a função degrau unitário. Aqui t é tempo, w é a frequência angular, e j é a unidade imaginária. A propriedade de linearidade afirma que constantes multiplicativas saem da transformada.
Usando essa propriedade “de cabeça”: \frac{1}{j w +4} corresponde a e^{-4 t}u(t) e \frac{1}{j w +5} corresponde a e^{-5 t}u(t).

Passo 5

Aplicar a transformada inversa a cada termo encontrado em \mathrm{X}(j w). Como \mathrm{X}(j w)=\dfrac{3}{j w+4}-\dfrac{2}{j w+5}, pelas correspondências do passo anterior obtemos
x(t)=3 e^{-4 t}u(t) - 2 e^{-5 t}u(t).
Aqui eu explico passo a passo: o coeficiente 3 multiplica a função cuja transformada é \frac{1}{j w+4}, portanto gera 3 e^{-4 t}u(t); e o coeficiente -2 gera -2 e^{-5 t}u(t). Esse é x(t).

Passo 6

Calcular a resposta em frequência H(j w) do sistema cujo impulso é h(t)=3 e^{-4 t}u(t).
Usando a mesma propriedade de transformada:
\mathcal{F}\{e^{-4 t}u(t)\}=\frac{1}{j w+4}.
Pela linearidade, multiplicando por 3 temos
H(j w)=\frac{3}{j w+4}.
Vou comentar: isso faz sentido também porque já sabemos que constantes multiplicativas no tempo correspondem a multiplicação por essa constante no domínio da frequência.

Passo 7

Calcular \mathrm{Y}(j w). Se x(t) é entrada e h(t) é resposta ao impulso do sistema, a saída y(t) corresponde à convolução y(t)=x(t)*h(t) no tempo. No domínio da frequência isso vira multiplicação:
\mathrm{Y}(j w)=\mathrm{X}(j w)\cdot H(j w).
Substituindo as expressões conhecidas:
\mathrm{Y}(j w)=\left(\frac{j w+7}{(j w+4)(j w+5)}\right)\left(\frac{3}{j w+4}\right).
Multiplicando e simplificando:
\mathrm{Y}(j w)=\frac{3(j w+7)}{(j w+4)^{2}(j w+5)}.
Se for necessário obter y(t) no domínio do tempo eu poderia decompor \mathrm{Y}(j w) em frações parciais e inverter termo a termo, mas o enunciado pediu apenas \mathrm{Y}(j w).

Resposta

a) x(t)=3 e^{-4 t}u(t)-2 e^{-5 t}u(t)
b) H(j w)=\dfrac{3}{j w+4}
c) \mathrm{Y}(j w)=\dfrac{3(j w+7)}{(j w+4)^{2}(j w+5)}

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