Questão 07: Dado o sinal
:
a) Apresente a expressão de
.
b) Considerando que a resposta ao impulso
é igual a
, determine a resposta em frequência.
c) Dado que
seja a entrada de um sistema, cuja resposta ao impulso é
, calcule
.
a) Apresente a expressão de
b) Considerando que a resposta ao impulso
c) Dado que
Passo 1
O enunciado dá a função de frequência
e pede três coisas:
- (a) Apresentar a expressão de
(isto é, a transformada inversa de ). - (b) Considerando
, determinar a resposta em frequência . - (c) Sabendo que
é entrada de um sistema com resposta ao impulso , calcular .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão de
está acima. - A resposta ao impulso dada é
. - Preciso usar que, para sinais causais exponenciais, a transformada de Fourier tem forma
(vai aparecer na resolução).
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Fatorar o denominador de
. Vou reescrever o denominador e fatorá-lo:
pois
e
. Portanto
Passo 3
Fazer decomposição em frações parciais para escrever
Multiplicando tudo por
obtemos a identidade
Agrupando termos em
e termos constantes:
Comparando coeficientes obtemos o sistema linear
Resolvo: de
. Substituindo em
:
Então
. Logo
Passo 4
Lembrar e explicar a transformada direta/inversa que vou usar (aula rápida):
- A transformada de Fourier unilateral (para sinais causais) ou a transformada bilateral, para exponenciais com parte real positiva do parâmetro, tem o par
onde
é um número com
(isso garante convergência) e
é a função degrau unitário. Aqui
é tempo,
é a frequência angular, e
é a unidade imaginária. A propriedade de linearidade afirma que constantes multiplicativas saem da transformada.
Usando essa propriedade “de cabeça”:
corresponde a
e
corresponde a
.
Passo 5
Aplicar a transformada inversa a cada termo encontrado em
. Como
, pelas correspondências do passo anterior obtemos
Aqui eu explico passo a passo: o coeficiente
multiplica a função cuja transformada é
, portanto gera
; e o coeficiente
gera
. Esse é
.
Passo 6
Calcular a resposta em frequência
do sistema cujo impulso é
.
Usando a mesma propriedade de transformada:
Pela linearidade, multiplicando por
temos
Vou comentar: isso faz sentido também porque já sabemos que constantes multiplicativas no tempo correspondem a multiplicação por essa constante no domínio da frequência.
Passo 7
Calcular
. Se
é entrada e
é resposta ao impulso do sistema, a saída
corresponde à convolução
no tempo. No domínio da frequência isso vira multiplicação:
Substituindo as expressões conhecidas:
Multiplicando e simplificando:
Se for necessário obter
no domínio do tempo eu poderia decompor
em frações parciais e inverter termo a termo, mas o enunciado pediu apenas
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)