Questão 6: Em determinado ponto, a pressão atmosférica na superfície é 1010 hPa e a temperatura do ar é
. Neste local, foi observado um “lapse rate” de
. Considerando a densidade do ar
, a aceleração da gravidade
e a relação hidrostática dada por
, obtenha a altitude e o nível de pressão da isoterma de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a altitude da isoterma de
(ou seja, a altura acima da superfície onde a temperatura chega a
) e o nível de pressão correspondente a essa isoterma. As informações fornecidas são:
e a relação hidrostática dada por .
e a relação hidrostática dada por
Vou calcular primeiro a altitude
cuja temperatura é
e depois usar a relação hidrostática para obter a pressão
nesse nível. Vou mostrar cada passo e explicar as fórmulas usadas.
Passo 2
Entender o “lapse rate” e como obter a altitude a partir dele. O lapse rate indica quanto a temperatura diminui por unidade de altura. Se a temperatura na superfície é
e o lapse rate é
(positivo, medido em
), a temperatura a uma altura
(em km) é aproximadamente
Queremos
. Então a altitude
satisfaz
Aqui
e
devem estar nas mesmas unidades de temperatura/altura.
Passo 3
Aplicando os números dados. Primeiro passo para facilitar: converter
para
ou trabalhar em km. Vou calcular em km e depois converter para metros. Temos
e
. Então
Convertendo para metros:
(Arrego de explicação: aqui só dividimos a queda total de temperatura necessária
pela taxa de queda por km.)
Passo 4
Agora usamos a relação hidrostática para obter a pressão no nível
. A equação diferencial dada é
Se
e
são considerados constantes (aproximação pedida pela questão, pois foi dada uma densidade fixa), integramos entre a superfície
(pressão
) e
para obter:
Esta expressão diz que a pressão diminui linearmente com a altura quando a densidade é constante. Importante: para usar essa fórmula, todas as unidades devem ser consistentes (pressão em Pa,
em
,
em
,
em m).
Passo 5
Converter a pressão de superfície para pascal (Pa). Dado
, lembrando que
,
Passo 6
Calcular o termo
. Primeiro
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Agora obter
usando
:
Converter para hPa (dividindo por
):
Passo 8
Arredondamentos e interpretação final. Para apresentação prática, normalmente reportamos a altitude em metros ou em km com duas casas significativas e a pressão em hPa com uma casa decimal razoável. Assim:
(ou
) e
.
Observação didática rápida: este resultado usa a aproximação de densidade constante; em atmosfera real a densidade diminui com a altura e a pressão segue a lei exponencial (a partir da equação de estado dos gases). Mas aqui a questão forneceu e pediu para usar a relação hidrostática simples, então o procedimento e os cálculos acima estão corretos conforme os dados dados.
Observação didática rápida: este resultado usa a aproximação de densidade constante; em atmosfera real a densidade diminui com a altura e a pressão segue a lei exponencial (a partir da equação de estado dos gases). Mas aqui a questão forneceu
Resposta
Altitude da isoterma
:
(ou
).
Pressão no nível da isoterma: .
Pressão no nível da isoterma: