Questão 6: Em determinado ponto, a pressão atmosférica na superfície é 1010 hPa e a temperatura do ar é 25^{\circ} \mathrm{C}. Neste local, foi observado um “lapse rate” de 6,4^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{Km}. Considerando a densidade do ar 1,05 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, a aceleração da gravidade 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a relação hidrostática dada por \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g, obtenha a altitude e o nível de pressão da isoterma de 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a altitude da isoterma de 0^\circ\mathrm{C} (ou seja, a altura acima da superfície onde a temperatura chega a 0^\circ\mathrm{C}) e o nível de pressão correspondente a essa isoterma. As informações fornecidas são:
\;p_{\text{superfície}} = 1010\\ \mathrm{hPa}í
\;T_{\text{superfície}} = 25^\circ\mathrm{C}í
\;\text{lapse rate} = 6,4^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}
\;\rho = 1,05\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
\;g = 9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2
e a relação hidrostática dada por \displaystyle \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g.
Vou calcular primeiro a altitude z cuja temperatura é 0^\circ\mathrm{C} e depois usar a relação hidrostática para obter a pressão p(z) nesse nível. Vou mostrar cada passo e explicar as fórmulas usadas.

Passo 2

Entender o “lapse rate” e como obter a altitude a partir dele. O lapse rate indica quanto a temperatura diminui por unidade de altura. Se a temperatura na superfície é T_0 e o lapse rate é \Gamma (positivo, medido em ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}), a temperatura a uma altura z (em km) é aproximadamente
T(z)=T_0 - \Gamma\, z.
Queremos T(z)=0^\circ\mathrm{C}. Então a altitude z satisfaz
0 = T_0 - \Gamma\, z \quad\Rightarrow\quad z=\frac{T_0}{\Gamma}.
Aqui T_0 e \Gamma devem estar nas mesmas unidades de temperatura/altura.

Passo 3

Aplicando os números dados. Primeiro passo para facilitar: converter \Gamma para ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} ou trabalhar em km. Vou calcular em km e depois converter para metros. Temos T_0=25^\circ\mathrm{C} e \Gamma=6,4^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}. Então
z=\frac{25}{6,4}\\ \mathrm{km}=3,90625\\ \mathrm{km}.
Convertendo para metros:
z=3,90625\\ \mathrm{km}=3906,25\\ \mathrm{m}.
(Arrego de explicação: aqui só dividimos a queda total de temperatura necessária \,25^\circ\mathrm{C}\, pela taxa de queda por km.)

Passo 4

Agora usamos a relação hidrostática para obter a pressão no nível z. A equação diferencial dada é
\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g.
Se \rho e g são considerados constantes (aproximação pedida pela questão, pois foi dada uma densidade fixa), integramos entre a superfície z=0 (pressão p_0) e z para obter:
p(z)=p_0-\rho g z.
Esta expressão diz que a pressão diminui linearmente com a altura quando a densidade é constante. Importante: para usar essa fórmula, todas as unidades devem ser consistentes (pressão em Pa, \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, g em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, z em m).

Passo 5

Converter a pressão de superfície para pascal (Pa). Dado \,p_0=1010\\ \mathrm{hPa}, lembrando que 1\\ \mathrm{hPa}=100\\ \mathrm{Pa},
p_0 = 1010\\ \mathrm{hPa} = 1010\cdot 100\\ \mathrm{Pa} = 101000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular o termo \rho g z. Primeiro \rho g:
\rho g = 1,05\cdot 9,8 = 10,29\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3\quad(\text{ou } \mathrm{Pa}/\mathrm{m}).
Multiplicando por z=3906,25\\ \mathrm{m}:
\rho g z = 10,29\cdot 3906,25 = 40189,84\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Agora obter p(z) usando p(z)=p_0-\rho g z:
p(z)=101000 - 40189,84 = 60810,16\\ \mathrm{Pa}.
Converter para hPa (dividindo por 100):
p(z)=60810,16\\ \mathrm{Pa}=608,10\\ \mathrm{hPa}.

Passo 8

Arredondamentos e interpretação final. Para apresentação prática, normalmente reportamos a altitude em metros ou em km com duas casas significativas e a pressão em hPa com uma casa decimal razoável. Assim:
\;z\approx 3906\\ \mathrm{m} (ou \;3,91\\ \mathrm{km}) e \;p\approx 608,1\\ \mathrm{hPa}.
Observação didática rápida: este resultado usa a aproximação de densidade constante; em atmosfera real a densidade diminui com a altura e a pressão segue a lei exponencial (a partir da equação de estado dos gases). Mas aqui a questão forneceu \rho e pediu para usar a relação hidrostática simples, então o procedimento e os cálculos acima estão corretos conforme os dados dados.

Resposta

Altitude da isoterma 0^\circ\mathrm{C}: 3906,25\\ \mathrm{m} (ou 3,90625\\ \mathrm{km}).
Pressão no nível da isoterma: 608,10\\ \mathrm{hPa}.

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