Questão 4: Resolva a equação
, dado que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a equação diferencial
. - Condição inicial:
. - Pergunta: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método e separação de variáveis (passo a passo): a equação pode ser separada porque os termos com
e com
aparecem multiplicativamente. Podemos reescrever dividindo por
(a gente deve lembrar que isso assume momentaneamente
; o caso
será tratado separadamente):
Agora colocamos
do lado direito e
do esquerdo:
Esta é a forma clássica “separável”: todos os
de um lado e todos os
do outro.
Passo 3
Integração dos dois lados: integramos em relação a
(no lado esquerdo a variável de integração é
, mas é equivalente fazer a integral direta entendendo
e
):
Conhecimentos usados aqui:
-
porque a derivada de em é . -
porque a derivada de é .
Juntando e absorvendo as constantes em uma só constante, obtemos
Passo 4
Resolver para
: exponenciando ambos os lados,
Chamando
temos
, o que dá
. Podemos então escrever a solução geral como
onde
é uma constante real arbitrária. Observação importante: durante a separação dividimos por
, então perdemos a solução constante
; ela corresponde ao caso
e fica incluída aqui se permitirmos
. Portanto a família
(com
real) é a solução geral.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar
:
substituindo na solução geral,
substituindo
Como
, segue
. Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Força aí — já estamos quase lá.
Passo 6
Verificação rápida (pra ter certeza): derivamos a solução encontrada para checar se satisfaz a EDO original. Se
, então usando a regra da cadeia,
que coincide com a equação dada. Perfeito — a solução está correta.
Passo 7
Recapitulando o método de forma prática (dica para prova): quando tiver
, tente separar
, integrar ambos os lados, isolar
e aplicar condição inicial. Exemplo rápido: para
teríamos
. Técnica bem parecida e rápida na prova.