Questão 4: Resolva a equação \frac{d y}{d x}=y \cos (x), dado que y(0)=1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a equação diferencial \frac{d y}{d x}=y\cos(x).
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Pergunta: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método e separação de variáveis (passo a passo): a equação pode ser separada porque os termos com y e com x aparecem multiplicativamente. Podemos reescrever dividindo por y (a gente deve lembrar que isso assume momentaneamente y\neq0; o caso y\equiv0 será tratado separadamente):
\frac{1}{y}\,\frac{d y}{d x}=\cos(x).
Agora colocamos dx do lado direito e dy do esquerdo:
\frac{dy}{y}=\cos(x)\,dx.
Esta é a forma clássica “separável”: todos os y de um lado e todos os x do outro.

Passo 3

Integração dos dois lados: integramos em relação a x (no lado esquerdo a variável de integração é y, mas é equivalente fazer a integral direta entendendo dy e dx):
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \cos(x)\,dx.
Conhecimentos usados aqui:
  • \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C_1 porque a derivada de \ln|y| em y é 1/y.
  • \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C_2 porque a derivada de \sin(x) é \cos(x).
    Juntando e absorvendo as constantes em uma só constante C, obtemos
\ln|y|=\sin(x)+C.

Passo 4

Resolver para y: exponenciando ambos os lados,
|y|=e^{\sin(x)+C}=e^{C}e^{\sin(x)}.
Chamando A=e^{C}>0 temos |y|=A e^{\sin(x)}, o que dá y=\pm A e^{\sin(x)}. Podemos então escrever a solução geral como
y(x)=K e^{\sin(x)},
onde K é uma constante real arbitrária. Observação importante: durante a separação dividimos por y, então perdemos a solução constante y\equiv0; ela corresponde ao caso K=0 e fica incluída aqui se permitirmos K=0. Portanto a família y(x)=K e^{\sin(x)} (com K real) é a solução geral.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar K:
substituindo x=0 na solução geral,
y(0)=K e^{\sin(0)}=K e^{0}=K.
Como y(0)=1, segue K=1. Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=e^{\sin(x)}.
Força aí — já estamos quase lá.

Passo 6

Verificação rápida (pra ter certeza): derivamos a solução encontrada para checar se satisfaz a EDO original. Se y(x)=e^{\sin(x)}, então usando a regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=e^{\sin(x)}\cdot\cos(x)=y\cos(x),
que coincide com a equação dada. Perfeito — a solução está correta.

Passo 7

Recapitulando o método de forma prática (dica para prova): quando tiver \frac{dy}{dx}=f(x)g(y), tente separar \frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx, integrar ambos os lados, isolar y e aplicar condição inicial. Exemplo rápido: para \frac{dy}{dx}=y\cdot 2x teríamos \frac{dy}{y}=2x\,dx\Rightarrow \ln|y|=x^2+C\Rightarrow y=Ce^{x^2}. Técnica bem parecida e rápida na prova.

Resposta

y=e^{\sin(x)}

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