Questão 2: Considere um astronauta na Lua. Ele lança um objeto verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} que leva 2,5 \mathrm{~s} para alcançar a altura máxima. Com base nesses dados, calcule:
A) Qual o módulo da aceleração gravitacional na superfície da Lua?
B) Qual a altura máxima que o objeto atinge?
C) Se o lançamento do objeto fosse feito na superfície da Terra, com a mesma velocidade inicial com que foi lançado na Lua, qual seria a altura máxima alcançada e quanto tempo levaria para subir? (Considere o módulo da aceleração gravitacional da Terra 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

Vou transcrever com calma o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
Dados fornecidos:
  • Velocidade inicial do lançamento: v_0 = 4\\ \mathrm{m/s}.
  • Tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima (tempo de subida): t_{\text{subida}} = 2,5\\ \mathrm{s}.
  • No ponto mais alto a velocidade instantânea é zero (isso é padrão para lançamento vertical).
  • Para a parte (C) a gravidade da Terra é dada: g_{\text{Terra}} = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o enunciado pede:
A) Calcular o módulo da aceleração gravitacional na superfície da Lua (ou seja, g_{\text{Lua}}, positivo como módulo).
B) Calcular a altura máxima atingida pelo objeto na Lua.
C) Se o mesmo lançamento (mesma v_0) fosse feito na Terra, calcular (i) a altura máxima alcançada e (ii) o tempo que levaria para subir até o ponto mais alto.

Passo 2

Entendendo a equação que liga velocidade, aceleração e tempo (aula rápida):
  • Para movimento vertical com aceleração constante usamos a equação
v = v_0 + a\,t,
onde v é a velocidade no instante t, v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração (positivo para cima, negativo para baixo).
  • No topo da trajetória temos v=0 e o tempo até o topo é t_{\text{subida}}. Tomando para cima o sentido positivo, a aceleração é -g (pois é para baixo). Então:
0 = v_0 + a\,t_{\text{subida}}.
  • Isolando a obtemos
a = -\frac{v_0}{t_{\text{subida}}}.
O módulo da aceleração gravitacional é g = |a| = \frac{v_0}{t_{\text{subida}}}.

Passo 3

Aplicando os números para achar g_{\text{Lua}}:
  • Substituindo v_0 = 4\\ \mathrm{m/s} e t_{\text{subida}} = 2,5\\ \mathrm{s} na fórmula do módulo:
g_{\text{Lua}} = \frac{v_0}{t_{\text{subida}}} = \frac{4}{2,5}.
  • Agora a conta: \dfrac{4}{2,5} = \dfrac{4}{2,5} = 1,6.
    Logo
g_{\text{Lua}} = 1,6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Como calcular a altura máxima (aula rápida de fórmulas de deslocamento):
  • Duas fórmulas que costumamos usar (ambas equivalentes) são:
\Delta y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
e
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y.
  • Para subir até o topo podemos usar a primeira com t = t_{\text{subida}} e a = -g (negativo), ou a segunda com v=0. Vou usar a primeira para mostrar passo a passo.

Passo 5

Calculando a altura máxima na Lua pelo método do deslocamento no tempo:
  • Usando \Delta y = v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2. Aqui a = -g_{\text{Lua}} = -1,6\\ \mathrm{m/s^{2}} e t = 2,5\\ \mathrm{s}.
\Delta y = 4\cdot 2,5 + \frac{1}{2}\cdot(-1,6)\cdot (2,5)^2.
  • Calcule passo a passo:
    \;4\cdot 2,5 = 10.
    \;(2,5)^2 = 6,25.
    \;\frac{1}{2}\cdot 1,6 = 0,8.
    \;0,8\cdot 6,25 = 5.
  • Como o termo com a é negativo:
\Delta y = 10 - 5 = 5\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura máxima é 5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagem pela outra fórmula (confirmação rápida):
  • Usando 0 = v_0^2 - 2 g \Delta y (porque v=0 no topo e a=-g), isolamos
\Delta y = \frac{v_0^2}{2 g}.
  • Com v_0 = 4 e g_{\text{Lua}} = 1,6:
\Delta y = \frac{16}{2\cdot 1,6} = \frac{16}{3,2} = 5,
mesma resposta. Boa — duas vias, mesmo resultado.

Passo 7

Agora a parte (C): lançamento na Terra com a mesma velocidade inicial. Primeiro tempo de subida:
  • Usamos v = v_0 - g_{\text{Terra}} t e no topo v=0, então
t_{\text{subida, Terra}} = \frac{v_0}{g_{\text{Terra}}}.
  • Substituindo v_0 = 4 e g_{\text{Terra}} = 10:
t_{\text{subida, Terra}} = \frac{4}{10} = 0,4\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Altura máxima na Terra (usar \Delta y = \dfrac{v_0^2}{2g} — é a forma mais direta):
  • Substituindo v_0 = 4 e g_{\text{Terra}} = 10:
\Delta y_{\text{Terra}} = \frac{16}{2\cdot 10} = \frac{16}{20} = 0,8\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação física rápida e incentivo:
  • Comparando: na Lua o g é bem menor ( 1,6 contra 10), por isso o objeto sobe muito mais ( 5\\ \mathrm{m} na Lua contra 0,8\\ \mathrm{m} na Terra) e demora mais tempo para subir ( 2,5\\ \mathrm{s} vs 0,4\\ \mathrm{s}). Isso faz sentido físico e confirma que as contas estão coerentes. Vai dar certo na prova — respira fundo e repete passo a passo na folha.

Resposta

A) g_{\text{Lua}} = 1,6\\ \mathrm{m/s^{2}}
B) h_{\text{máx, Lua}} = 5\\ \mathrm{m}á
C) h_{\text{máx, Terra}} = 0,8\\ \mathrm{m}á; t_{\text{subida, Terra}} = 0,4\\ \mathrm{s}

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