Questão 1: Determinar se a função
\begin{aligned} & \exp \left(\left(c_{1}+c_{3}+c_{4}+5\right)\left(x^{2}+\left(c_{2}+2\right) y^{2}+\left(c_{3}+3\right) z^{2}\right)\right)+\left(c_{1}+c_{2}+5\right) \exp \left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right) \\\ & +\left(c_{3}+c_{4}+7\right) \exp \left(x^{2}-6 x y+9 y^{2}+2 z^{2}\right) \end{aligned}
é convexa ou côncava?

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função
\begin{aligned} f(x,y,z) &= \exp\!\Big((c_{1}+c_{3}+c_{4}+5)\big(x^{2}+(c_{2}+2) y^{2}+(c_{3}+3) z^{2}\big)\Big) \\\ &\quad +(c_{1}+c_{2}+5)\,\exp\!\big(x^{4}+y^{4}+z^{4}\big) \\\ &\quad +(c_{3}+c_{4}+7)\,\exp\!\big(x^{2}-6xy+9y^{2}+2z^{2}\big) \end{aligned}
é convexa ou côncava (no espaço de variáveis (x,y,z), para todos os pontos).
Vou usar as constantes abaixo para simplificar a escrita (peguei essas combinações diretamente do enunciado):
\begin{aligned} B_1 &= c_{1}+c_{3}+c_{4}+5,\\\ A_2 &= c_{1}+c_{2}+5,\\\ A_3 &= c_{3}+c_{4}+7,\\\ \alpha &= c_{2}+2,\\\ \beta &= c_{3}+3. \end{aligned}
O que nos é pedido: determinar condições (sobre c_1,c_2,c_3,c_4) que garantam convexidade ou concavidade de f (ou, se não for possível, dizer que não é côncava/convexa em geral).

Passo 2

Regra central (fórmula que vamos usar): para uma função g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} duas vezes diferenciável vale
\nabla^2\big(\exp(g)\big) \;=\; \exp(g)\big(\nabla g\,\nabla g^{T} + \nabla^2 g\big).
Explicação simples: a derivada da exponencial traz sempre um fator \exp(g); a segunda derivada gera dois tipos de termos: um que é produto das derivadas primeiras (\nabla g)(\nabla g)^T (sempre matriz semidefinida positiva) e outro que é a Hessiana de g. Portanto, ao somar termos da forma constante vezes \exp(g), a Hessiana de cada parcela é da forma (constante) \times \exp(g) \times (\text{PSD})\,+\,(\text{constante})\times\exp(g)\times(\nabla^2 g). Se a constante multiplicadora for não negativa e \nabla^2 g for PSD, o produto total será PSD e a parcela é convexa; se a constante for não positiva e \nabla^2 g for PSD então a parcela é concava (negativo de convexa). Vou aplicar essa ideia termo a termo.

Passo 3

Identificação dos três “g” usados nas parcelas:
\begin{aligned} g_1(x,y,z) &= B_1\big(x^{2}+\alpha y^{2}+\beta z^{2}\big), \quad\text{(com coeficiente exterior }1\text{)}\\[4pt] g_2(x,y,z) &= x^{4}+y^{4}+z^{4}, \quad\text{(com coeficiente exterior }A_2\text{)}\\[4pt] g_3(x,y,z) &= x^{2}-6xy+9y^{2}+2z^{2} \;=\; (x-3y)^2+2z^2,\quad\text{(com coeficiente exterior }A_3\text{).} \end{aligned}
Observações úteis que já extraí do enunciado:
  • g_2 é convexa (cada x^4 gera segunda derivada 12x^2\ge0), portanto \exp(g_2) é função convexa de x,y,z e A_2\exp(g_2) é convexa quando A_2\ge0 e concava quando A_2\le0.
  • g_3=(x-3y)^2+2z^2 é um quadrático que é claramente convexa (é soma de quadrados), portanto \exp(g_3) é convexa; com coeficiente A_3 a parcela é convexa se A_3\ge0 e côncava se A_3\le0.
  • g_1 é um quadrático com fator B_1. A convexidade de g_1 depende de B_1 e de \alpha,\beta. Em particular, q_1(x,y,z)=x^{2}+\alpha y^{2}+\beta z^{2} é convexa exatamente quando \alpha\ge0 e \beta\ge0. Se q_1 é convexa e B_1\ge0 então g_1 é convexo e \exp(g_1) é convexa; se B_1<0 então g_1 é concavo (escala negativa de um quadrático convexo), mas atenção: \exp(\text{concavo}) não é, em geral, uma função côncava (expõe problemas), então temos que tratar g_1 com cuidado.]

Passo 4

Cálculo rápido das derivadas (mostrando que as matrizes internas são PSD se as condições nas constantes forem adequadas).
Para g_1 = B_1(x^{2}+\alpha y^{2}+\beta z^{2}):
\nabla g_1 = 2B_1\begin{pmatrix}x\\\ \alpha y \\\ \beta z\end{pmatrix},\qquad \nabla^2 g_1 = 2B_1\operatorname{diag}(1,\alpha,\beta).
Logo a matriz que aparece na fórmula da Hessiana de \exp(g_1) é
\nabla g_1\nabla g_1^{T} + \nabla^2 g_1 =4B_1^{2}\begin{pmatrix}x\\\ \alpha y \\\ \beta z\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x & \alpha y & \beta z\end{pmatrix} +2B_1\operatorname{diag}(1,\alpha,\beta).
  • O primeiro termo é sempre PSD (é um produto vetor·vetor^T multiplicado por 4B_1^2\ge0).
  • O segundo termo tem o mesmo sinal de B_1 (escala a matriz diagonal). Assim, se B_1\ge0 e \alpha\ge0,\beta\ge0, então \nabla g_1\nabla g_1^{T} + \nabla^2 g_1 é soma de PSDs, logo PSD para todo (x,y,z). Então \exp(g_1) é convexa.
Para g_2 = x^4+y^4+z^4:
\nabla g_2 = 4\begin{pmatrix}x^3\\\ y^3\\\ z^3\end{pmatrix},\qquad \nabla^2 g_2 = \operatorname{diag}(12x^2,12y^2,12z^2).
Então \nabla g_2\nabla g_2^{T} + \nabla^2 g_2 é soma de uma matriz de tipo vetor·vetor (PSD) com uma diagonal com entradas \ge0; portanto é PSD para todo (x,y,z). Assim \exp(g_2) é convexa, e A_2\exp(g_2) será convexa se A_2\ge0 e côncava se A_2\le0 (pois multiplicar por número negativo inverte o sinal da Hessiana).
Para g_3=(x-3y)^2+2z^2:
\nabla g_3 = 2\begin{pmatrix}x-3y\\\\ -3(x-3y)\\\\ 2z\end{pmatrix},\qquad \nabla^2 g_3 = \begin{pmatrix}2 & -6 & 0\\\\ -6 & 18 & 0\\\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix},
e \nabla^2 g_3 é PSD (é a matriz do soma de quadrados). Logo \nabla g_3\nabla g_3^{T} + \nabla^2 g_3 é PSD sempre; assim \exp(g_3) é convexa e A_3\exp(g_3) segue o mesmo raciocínio de sinal que para g_2.

Passo 5

Condição suficiente para convexidade (e porque é natural):
  • Se todas as parcelas que compõem f são convexas, então f (soma delas) é convexa. Pelos cálculos:
    • a parcela \exp(g_1) é convexa se B_1\ge0 e \alpha\ge0 e \beta\ge0, isto é, se B_1 = c_{1}+c_{3}+c_{4}+5 \ge 0,\qquad c_{2}+2 \ge 0,\qquad c_{3}+3 \ge 0.
    • a parcela A_2\exp(g_2) é convexa se A_2\ge0, isto é A_2 = c_{1}+c_{2}+5 \ge 0.
    • a parcela A_3\exp(g_3) é convexa se A_3\ge0, isto é A_3 = c_{3}+c_{4}+7 \ge 0.
Portanto, se todas as cinco desigualdades acima forem satisfeitas simultaneamente, cada parcela tem Hessiana PSD e, como a soma de matrizes PSD é PSD, a Hessiana de f é PSD em todo \mathbb{R}^3. Conclusão: essas condições são suficientes para f ser convexa.

Passo 6

Discussão sobre concavidade (quando pode ou não acontecer):
  • Note que a primeira parcela tem coeficiente exterior igual a 1 (sempre positivo): é \exp(g_1). Para que f seja globalmente côncava, cada parcela deve contribuir com Hessiana NÃO-positiva de maneira que a soma seja NSD em todo lugar. Em particular, a parcela \exp(g_1) por si só não pode ser transformada em uma parcela do tipo “negativa de convexa” (porque seu coeficiente exterior é +1): ela é ou convexa ou indefinida quanto a concavidade dependendo de B_1.
  • Uma observação chave (necessidade): se B_1\neq0 então \exp(B_1 x^2) numa fatia unidimensional (take y=0,z=0) não é côncava globalmente. Exemplo numérico: para a função h(x)=\exp(B_1 x^2) temos h''(x)=\exp(B_1 x^2)\big(4B_1^2 x^2 + 2B_1\big).Se B_1\neq0 esse termo torna-se positivo para x suficientemente grande (porque o termo 4B_1^2 x^2 domina), portanto h''(x)>0 para tais x e h não é côncava globalmente. Assim, para que exista alguma chance de f ser côncava em todo \mathbb{R}^3 é necessário ter B_1=0 (caso contrário a primeira parcela já impede concavidade global).
  • Se B_1=0 então a primeira parcela vale a constante \exp(0)=1 e não interfere na concavidade. Nesse caso f reduz-se a f(x,y,z)= 1 + A_2\exp(g_2) + A_3\exp(g_3).Como vimos, \exp(g_2) e \exp(g_3) são convexas (sempre), portanto A_2\exp(g_2) e A_3\exp(g_3) são côncavas exatamente quando A_2\le0 e A_3\le0. A soma de funções constantes e de funções côncavas é côncava. Logo, condição suficiente (e natural) para f ser côncava é B_1 = 0,\qquad A_2 \le 0,\qquad A_3 \le 0,i.e. c_{1}+c_{3}+c_{4}+5 = 0,\qquad c_{1}+c_{2}+5\le0,\qquad c_{3}+c_{4}+7\le0.
  • Resumindo a parte da concavidade: é impossível f ser côncava em todo \mathbb{R}^3 se B_1\neq0. Se B_1=0, então f é côncava exatamente quando A_2\le0 e A_3\le0.

Passo 7

Recapitulando de forma prática e amigável:
  • Para garantir convexidade global de f basta (e de fato é uma condição natural) exigir que cada parcela seja convexa, o que dá as condições lineares simples em c_i.
  • Para concavidade global, o termo com coeficiente externo 1 obriga B_1 a ser zero (caso contrário esse termo sozinho já impede concavidade). Quando B_1=0, as outras duas parcelas devem ter coeficientes não-positivos para que a soma seja côncava.

Resposta

A função f é convexa se
c_{2}+2 \ge 0,\quad c_{3}+3 \ge 0,\quad c_{1}+c_{3}+c_{4}+5 \ge 0,\quad c_{1}+c_{2}+5 \ge 0,\quad c_{3}+c_{4}+7 \ge 0.
A função f é côncava somente no caso em que
c_{1}+c_{3}+c_{4}+5 = 0 e c_{1}+c_{2}+5 \le 0 e c_{3}+c_{4}+7 \le 0.

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