Usando o Teorema 3.2.1 classifique os pontos críticos das funções:
x^{2}-4 x y+2 y^{2}+4 x+8 y+3.

Passo 1

O enunciado pede que, usando o Teorema 3.2.1, se classifiquem os pontos críticos da função abaixo. Informações fornecidas:
f(x,y)=x^{2}-4xy+2y^{2}+4x+8y+3.
Pergunta explícita: encontrar os pontos críticos de f e classificá-los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).

Passo 2

O que é um ponto crítico (passo teórico mastigado)?
Um ponto (x_0,y_0) é crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) for o vetor zero, isto é, se as derivadas parciais primeiras se anularem:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.
Aqui vamos calcular as derivadas parciais primeiras explicitamente. A derivada parcial em relação a x trata y como constante; a derivada parcial em relação a y trata x como constante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras de f.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-4y+4.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-4x+4y+8.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} 2x-4y+4=0,\\[4pt] -4x+4y+8=0. \end{cases}
Simplifico a primeira equação dividindo por 2:
x-2y+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2y-2.
Substituo x=2y-2 na segunda equação:
-4(2y-2)+4y+8=0.
Desenvolvendo:
-8y+8+4y+8=0 \quad\Rightarrow\quad -4y+16=0 \quad\Rightarrow\quad y=4.
Então
x=2y-2=2\cdot4-2=8-2=6.
Logo há um único ponto crítico em (6,4).]

Passo 5

Agora vamos classificar o ponto crítico usando o Teorema 3.2.1 (teste das segundas derivadas). Vou explicar o teste em palavras simples: calcule as segundas derivadas e forme o discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0, então f tem mínimo local em (x_0,y_0).
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0, então f tem máximo local em (x_0,y_0).
  • Se D(x_0,y_0)<0, então (x_0,y_0) é ponto de sela.
  • Se D(x_0,y_0)=0, o teste é inconclusivo.

Passo 6

Calcular as segundas derivadas de f.
f_{xx}(x,y)=2,\qquad f_{yy}(x,y)=4,\qquad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4y+4)=-4.
Esses valores são constantes (não dependem de (x,y)) porque f é um polinômio quadrático.

Passo 7

Calcular o discriminante D no ponto crítico (6,4) (mas como as segundas derivadas são constantes, vale em qualquer ponto):
D=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}=2\cdot4-(-4)^{2}=8-16=-8.
Observação: D<0.

Passo 8

Interpretação pelo Teorema 3.2.1: como D(6,4)=-8<0, o ponto crítico (6,4) é um ponto de sela (saddle point). Isso significa que em algumas direções a função aumenta e em outras direções a função diminui ao sair de (6,4).

Resposta

(6,4) é um ponto de sela.

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