Usando o Teorema 3.2.1 classifique os pontos críticos das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede que, usando o Teorema 3.2.1, se classifiquem os pontos críticos da função abaixo. Informações fornecidas:
Pergunta explícita: encontrar os pontos críticos de
e classificá-los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Passo 2
O que é um ponto crítico (passo teórico mastigado)?
Um ponto é crítico se o gradiente de
em
for o vetor zero, isto é, se as derivadas parciais primeiras se anularem:
Um ponto
Aqui vamos calcular as derivadas parciais primeiras explicitamente. A derivada parcial em relação a
trata
como constante; a derivada parcial em relação a
trata
como constante.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras de
.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
Simplifico a primeira equação dividindo por
:
Substituo
na segunda equação:
Desenvolvendo:
Então
Logo há um único ponto crítico em
.]
Passo 5
Agora vamos classificar o ponto crítico usando o Teorema 3.2.1 (teste das segundas derivadas). Vou explicar o teste em palavras simples: calcule as segundas derivadas e forme o discriminante
- Se
e , então tem mínimo local em . - Se
e , então tem máximo local em . - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 6
Calcular as segundas derivadas de
.
Esses valores são constantes (não dependem de
) porque
é um polinômio quadrático.
Passo 7
Calcular o discriminante
no ponto crítico
(mas como as segundas derivadas são constantes, vale em qualquer ponto):
Observação:
.
Passo 8
Interpretação pelo Teorema 3.2.1: como
, o ponto crítico
é um ponto de sela (saddle point). Isso significa que em algumas direções a função aumenta e em outras direções a função diminui ao sair de
.