9^a Questão: Determine a antiderivada abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
integral 5 x raiz[3](9-4 x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
integral 5xraiz[3]9-4x^2;dx
usando uma técnica de substituição e depois verificar o resultado pela diferenciação. Vamos usar a substituição para simplificar o radicando.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = 9 - 4x^2,
então
du = -8x,dx Longrightarrow x,dx = -18,du
Substituindo em integral 5xraiz[3]9-4x^2,dx obtemos
integral 5,x,(u)^1/3,dx = 5integral u^1/3l(x,dxr) = 5integral u^1/3l(-tfrac18,dur) = -58integral u^1/3,du

Passo 3

Agora integramos em u:
-58integral u^1/3,du = -58,u^4/3tfrac43 + C = -58cdot34,u^4/3 + C = -1532,u^4/3 + C
Voltando à variável x, temos
-1532l(9-4x^2r)^4/3 + C

Passo 4

Verificação pela derivada: seja
F(x) = -1532l(9-4x^2r)^4/3
Então
F'(x) = -1532cdot43l(9-4x^2r)^1/3cdot(-8x) = 15cdot4cdot832cdot3;x,(9-4x^2)^1/3 = 5x,(9-4x^2)^1/3,
que é exatamente o integrando.

Resposta

-1532l(9-4x^2r)^4/3 + C

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