Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=1+2 x+y^2+2 x y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx=1+2x+y^2+2xy^2.
Observamos que o lado direito pode ser fatorado em funções separadas de x e y, indicando que a equação é separável.

Passo 2

Fatoramos o lado direito para evidenciar a separação:
1+2x+y^2+2xy^2 ;=;(1+2x),(1+y^2)

Passo 3

Separamos as variáveis, colocando todos os termos com y num lado e com x no outro:
dy1+y^2 ;=;(1+2x),dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dy1+y^2 ;=; integral (1+2x),dx
arctan(y) ;=; x + x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y para obter a forma explícita da solução:
y(x) = tanl(x + x^2 + Cr)

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(x)=tanl(x^2+x+Cr),
onde C é a constante de integração.

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