Questão 5. Determine a área da superfície de revolução gerada por f(x)=\frac{3 x}{4}, \operatorname{com} x \in[0,4].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{3x}{4} definida no intervalo [0,4] e pede a área da superfície gerada pela revolução do gráfico dessa função no intervalo dado. Vou assumir (modo padrão neste tipo de exercício) que a revolução é feita em torno do eixo x (eixo das abscissas). Informações relevantes:
  • Função: f(x)=\dfrac{3x}{4}.
  • Intervalo: x\in[0,4].
  • Pedido: calcular a área da superfície obtida ao girar a curva y=f(x) em torno do eixo x.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada com calma). A área de superfície gerada pela revolução de uma curva y=f(x) ao redor do eixo x, para x variando de a a b, é dada por
S=\int_{a}^{b} 2\pi\,y\,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^2}\,dx,
onde:
  • y=f(x) é a altura do ponto da curva (distância ao eixo x);
  • y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x;
  • 2\pi y é o comprimento da circunferência gerada por aquele ponto ao girar em torno do eixo x;
  • \sqrt{1+(y')^2}\,dx é um elemento de comprimento de arco aproximado da curva (ou seja, o comprimento do pequeno segmento de curva correspondente ao incremento dx);
  • o produto 2\pi y\cdot\sqrt{1+(y')^2}\,dx aproxima a área do “faixa” gerada por esse pequeno segmento, e a integral soma essas faixas de a a b.
Essa fórmula vem de aproximar cada pequeno trecho da curva por um segmento de reta: área aproximada da faixa = (circunferência média) × (comprimento do segmento) ≈ 2\pi y\,ds, com ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx. Pronto — agora aplicamos.

Passo 3

Calcular a derivada y'=f'(x). Para f(x)=\dfrac{3x}{4} temos
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{3x}{4}\right)=\dfrac{3}{4}.
Explicando: a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva; aqui como f é linear a inclinação é constante \tfrac{3}{4}.

Passo 4

Calcular o fator \sqrt{1+(f')^2}. Substituindo f'(x)=\dfrac{3}{4},
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}=\sqrt{1+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=\sqrt{1+\dfrac{9}{16}}=\sqrt{\dfrac{16+9}{16}}=\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}.
Observação: esse fator é constante porque a derivada é constante.

Passo 5

Montar a integral da área usando a fórmula. Substituindo y=f(x)=\dfrac{3x}{4} e o fator \dfrac{5}{4} em
S=\int_{0}^{4} 2\pi\,f(x)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx,
obtém-se
S=\int_{0}^{4} 2\pi\cdot\frac{3x}{4}\cdot\frac{5}{4}\,dx.
Agora simplificamos os coeficientes passo a passo:
2\pi\cdot\frac{3x}{4}\cdot\frac{5}{4}=2\pi\cdot\frac{15x}{16}=\frac{30\pi x}{16}=\frac{15\pi x}{8}.
Portanto a integral fica
S=\int_{0}^{4}\frac{15\pi}{8}\,x\,dx.

Passo 6

Calcular a integral. Primeiro a primitiva de x é \dfrac{x^2}{2}, então a primitiva do integrando é
\frac{15\pi}{8}\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{15\pi}{16}\,x^2.
Avaliar de 0 a 4:
S=\left.\frac{15\pi}{16}\,x^2\right|_{0}^{4}=\frac{15\pi}{16}\cdot 4^{2}-\frac{15\pi}{16}\cdot 0^{2}=\frac{15\pi}{16}\cdot 16=15\pi.
Cálculo numérico detalhado: 4^2=16, e \dfrac{15\pi}{16}\times 16=15\pi porque o 16 cancela.

Resposta

15\pi

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