Questão 5. Determine a área da superfície de revolução gerada por f(x)=\frac{3 x}{4}, \operatorname{com} x \in[0,4].
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{3x}{4} definida no intervalo [0,4] e pede a área da superfície gerada pela revolução do gráfico dessa função no intervalo dado. Vou assumir (modo padrão neste tipo de exercício) que a revolução é feita em torno do eixo x (eixo das abscissas). Informações relevantes:
Função: f(x)=\dfrac{3x}{4}.
Intervalo: x\in[0,4].
Pedido: calcular a área da superfície obtida ao girar a curva y=f(x) em torno do eixo x.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada com calma). A área de superfície gerada pela revolução de uma curva y=f(x) ao redor do eixo x, para x variando de a a b, é dada por
y=f(x) é a altura do ponto da curva (distância ao eixo x);
y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x;
2\pi y é o comprimento da circunferência gerada por aquele ponto ao girar em torno do eixo x;
\sqrt{1+(y')^2}\,dx é um elemento de comprimento de arco aproximado da curva (ou seja, o comprimento do pequeno segmento de curva correspondente ao incremento dx);
o produto 2\pi y\cdot\sqrt{1+(y')^2}\,dx aproxima a área do “faixa” gerada por esse pequeno segmento, e a integral soma essas faixas de a a b.
Essa fórmula vem de aproximar cada pequeno trecho da curva por um segmento de reta: área aproximada da faixa = (circunferência média) × (comprimento do segmento) ≈ 2\pi y\,ds, com ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx. Pronto — agora aplicamos.
Passo 3
Calcular a derivada y'=f'(x). Para f(x)=\dfrac{3x}{4} temos