Questão 4. Calcule o comprimento de arco do gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco do gráfico da função
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Função:
(isso vale para ). - Intervalo:
. - Pedido: calcular o comprimento de arco do gráfico
para variando de até .
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco para uma função
suave em
:
Explicação didática dessa fórmula (intuição): para um pequeno incremento
a curva se desloca em
por
e em
por
. O comprimento aproximado desse trecho é
. No limite
substituímos
por
e somamos (integral) ao longo do intervalo, obtendo a fórmula acima.
Passo 3
Calcular a derivada
usando a regra da potência:
Explicando a regra: se
então
. Aqui
, logo
.
Passo 4
Substituir
na fórmula do comprimento:
Portanto o integrando fica
Assim o comprimento é
Passo 5
Resolver a integral por substituição linear. Faça a troca
Calcular
e alterar os limites:
Limites: quando
temos
. Quando
temos
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrar
:
Aplicando nos limites e multiplicando pela constante:
Calcular
:
Logo
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: o comprimento é positivo e tem valor racional
. Opcionalmente, em decimal isso é aproximadamente
, mas a forma exata
é preferível.