Questão 4. Calcule o comprimento de arco do gráfico da função:
f(x)=\sqrt{x^{3}}, x \in\left[0, \frac{4}{3}\right]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do gráfico da função
f(x)=\sqrt{x^{3}} \quad\text{no intervalo}\quad \left[0,\frac{4}{3}\right].
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Função: \;f(x)=\sqrt{x^{3}}=x^{3/2} (isso vale para x\ge0).
  • Intervalo: \;x\in\left[0,\frac{4}{3}\right].
  • Pedido: calcular o comprimento de arco do gráfico y=f(x) para x variando de 0 até \tfrac{4}{3}.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x) suave em [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Explicação didática dessa fórmula (intuição): para um pequeno incremento \Delta x a curva se desloca em x por \Delta x e em y por \Delta y. O comprimento aproximado desse trecho é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\;\Delta x. No limite \Delta x\to0 substituímos \dfrac{\Delta y}{\Delta x} por f'(x) e somamos (integral) ao longo do intervalo, obtendo a fórmula acima.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) usando a regra da potência:
f(x)=x^{3/2}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.
Explicando a regra: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=\tfrac{3}{2}, logo n-1=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Substituir f'(x) na fórmula do comprimento:
\bigl(f'(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}=\frac{9}{4}x.
Portanto o integrando fica
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}x}.
Assim o comprimento é
L=\int_{0}^{4/3}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\;dx.

Passo 5

Resolver a integral por substituição linear. Faça a troca
u=1+\frac{9}{4}x.
Calcular du e alterar os limites:
du=\frac{9}{4}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{4}{9}\,du.
Limites: quando x=0 temos u=1. Quando x=\dfrac{4}{3} temos
u=1+\frac{9}{4}\cdot\frac{4}{3}=1+\frac{9}{3}=1+3=4.
Substituindo na integral:
L=\int_{u=1}^{u=4}\sqrt{u}\cdot\frac{4}{9}\;du=\frac{4}{9}\int_{1}^{4}u^{1/2}\;du.

Passo 6

Integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}\;du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Aplicando nos limites e multiplicando pela constante:
L=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{4}=\frac{8}{27}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Calcular 4^{3/2}: \;4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Logo
L=\frac{8}{27}(8-1)=\frac{8}{27}\cdot 7=\frac{56}{27}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: o comprimento é positivo e tem valor racional \dfrac{56}{27}. Opcionalmente, em decimal isso é aproximadamente 2{,}07407, mas a forma exata \dfrac{56}{27} é preferível.

Resposta

\displaystyle \frac{56}{27}

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