Calcule o volume dos sólidos de revolução gerados pelas seguintes curvas (considere o eixo x como cixo de revolução):
x=y^{2}, definida em I=[0,1].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede: calcular o volume do sólido obtido por revolução em torno do eixo x da curva x=y^{2} definida no intervalo I=[0,1].
  • Dados importantes que já vêm do enunciado:
    • A curva é \,x=y^{2}\,.
    • O parâmetro y varia em [0,1].
    • O eixo de revolução é o eixo x (horizontal).
  • Observação útil (derivada dos dados): quando y vai de 0 a 1, a coordenada x=y^{2} vai de 0 a 1. Podemos também escrever a curva como y=\sqrt{x} para x\in[0,1].

Passo 2

Escolha do método e por quê:
  • Como o eixo de revolução é o eixo x e conseguimos escrever a curva na forma y=\sqrt{x} com x variando de 0 a 1, o método dos discos (seções transversais perpendiculares ao eixo x) é direto e simples.
  • Breve explicação do método dos discos: ao cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo x em uma posição x fixa, a interseção é um círculo (disco) de raio igual à distância da curva ao eixo x. A área desse disco é \pi vezes o quadrado do raio. Integrando essas áreas ao longo de x dá o volume.
  • Definições das variáveis usadas:
    • x é a coordenada ao longo do eixo de revolução (varia de 0 a 1).
    • O raio do disco em cada x é r(x)=y=\sqrt{x}.
    • A área do disco é A(x)=\pi\big(r(x)\big)^{2}.

Passo 3

Aplicar a fórmula dos discos e montar a integral:
  • A área do disco em função de x é
A(x)=\pi\big(\sqrt{x}\,\big)^{2}=\pi x.
  • O volume é a integral da área ao longo de x de 0 a 1:
V=\int_{0}^{1} A(x)\,dx=\int_{0}^{1} \pi x\,dx.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo:
  • Tire a constante \pi fora da integral:
V=\pi\int_{0}^{1} x\,dx.
  • Calcule a primitiva de x: \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  • Avalie no intervalo [0,1]:
V=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}\right)=\pi\cdot\frac{1}{2}.

Passo 5

Verificação por outro método (cilindros/“casca”): (opcional, serve para conferir)
  • Usando cascas cilíndricas horizontais: para uma faixa de altura y e espessura dy, a casca tem raio y e altura x(y)=y^{2}, então
dV=2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dy=2\pi y\cdot y^{2}\,dy=2\pi y^{3}\,dy.
  • Integrando y de 0 a 1:
V=2\pi\int_{0}^{1} y^{3}\,dy=2\pi\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2},
o que confirma o resultado obtido pelo método dos discos.

Resposta

\displaystyle V=\frac{\pi}{2}

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