Calcule o volume dos sólidos de revolução gerados pelas seguintes curvas (considere o eixo
como cixo de revolução):
, definida em
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
- Pede: calcular o volume do sólido obtido por revolução em torno do eixo
da curva definida no intervalo . - Dados importantes que já vêm do enunciado:
- A curva é
. - O parâmetro
varia em . - O eixo de revolução é o eixo
(horizontal).
- A curva é
- Observação útil (derivada dos dados): quando
vai de a , a coordenada vai de a . Podemos também escrever a curva como para .
Passo 2
Escolha do método e por quê:
- Como o eixo de revolução é o eixo
e conseguimos escrever a curva na forma com variando de a , o método dos discos (seções transversais perpendiculares ao eixo ) é direto e simples. - Breve explicação do método dos discos: ao cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo
em uma posição fixa, a interseção é um círculo (disco) de raio igual à distância da curva ao eixo . A área desse disco é vezes o quadrado do raio. Integrando essas áreas ao longo de dá o volume. - Definições das variáveis usadas:
-
é a coordenada ao longo do eixo de revolução (varia de a ). - O raio do disco em cada
é . - A área do disco é
.
-
Passo 3
Aplicar a fórmula dos discos e montar a integral:
- A área do disco em função de
é
- O volume é a integral da área ao longo de
de a :
Passo 4
Calcular a integral passo a passo:
- Tire a constante
fora da integral:
- Calcule a primitiva de
: . - Avalie no intervalo
:
Passo 5
Verificação por outro método (cilindros/“casca”): (opcional, serve para conferir)
- Usando cascas cilíndricas horizontais: para uma faixa de altura
e espessura , a casca tem raio e altura , então
- Integrando
de a :
o que confirma o resultado obtido pelo método dos discos.