Questão 3. Verifique se a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-81}{\sqrt{x-5}-2}, & \text { se } x \neq 9 \\\\ 36, & \text { se } x=9 \end{array}\right.
é contínua em x=9.
i) (0.6) Escreveu que para que a função seja contínua em x=9, precisamos que \lim _{x \rightarrow 9} f(x)=f(9).
ii) (1.2) Calculou corretamente \lim _{x \rightarrow 9} f(x) e obteve 72 como resposta. Pode ocorrer pontuação parcial no cálculo do limite caso parte da conta esteja correta.
iii) (0.2) Justificou que 72 \neq 36=f(9) e, portanto, não é contínua no ponto solicitado.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
Obtemos a indeterminação 0/0. Isso significa que não podemos concluir o limite por substituição direta: é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 4
Explicação do truque a usar (aula rápida sobre racionalização):
Quando aparece \sqrt{\cdot}-2 no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x-5}+2. Isso usa a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} e “racionaliza” o denominador, transformando a diferença de raízes numa expressão sem raiz na parte do denominador.
Também é útil fatorar o numerador x^{2}-81 como (x-9)(x+9) para ver se um fator (x-9) cancela com algo do denominador.
Passo 5
Aplicando a fatoração e a racionalização passo a passo:
A função (para x\neq9) é equivalente à função g(x)=(x+9)(\sqrt{x-5}+2), e g é contínua em x=9 (é produto de funções contínuas onde a raiz está definida).
Passo 7
Cálculo do limite usando a forma simplificada:
Como a simplificação removeu a indeterminação, podemos agora fazer a substituição direta em g(x):
Comparação com o valor da função em x=9 e conclusão sobre continuidade:
Foi dado que f(9)=36.
Como \lim_{x\to9} f(x)=72\neq 36=f(9), a condição de continuidade falha.
Interpretação: existe limite finito quando x\to9, mas o valor atribuído à função em x=9 não coincide com esse limite. Portanto há uma descontinuidade removível (o limite existe, mas a função não foi definida com o valor do limite).
Resposta
\text{Não é contínua em }x=9,\text{ pois }\lim_{x\to9}f(x)=72\neq f(9)=36.ãéí