Questão 3. Verifique se a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-81}{\sqrt{x-5}-2}, & \text { se } x \neq 9 \\\\ 36, & \text { se } x=9 \end{array}\right.
é contínua em x=9.
i) (0.6) Escreveu que para que a função seja contínua em x=9, precisamos que \lim _{x \rightarrow 9} f(x)=f(9).
ii) (1.2) Calculou corretamente \lim _{x \rightarrow 9} f(x) e obteve 72 como resposta. Pode ocorrer pontuação parcial no cálculo do limite caso parte da conta esteja correta.
iii) (0.2) Justificou que 72 \neq 36=f(9) e, portanto, não é contínua no ponto solicitado.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \dfrac{x^{2}-81}{\sqrt{x-5}-2}, & \text{se } x\neq 9,\\[6pt] 36, & \text{se } x=9. \end{array}\right.
O que o problema pede: verificar se f é contínua em x=9.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x) para x\neq9 é \dfrac{x^{2}-81}{\sqrt{x-5}-2}.
  • O valor definido em x=9 é f(9)=36.
Perguntas a responder:
  • Existe \lim_{x\to9} f(x) e, em caso afirmativo, qual é esse limite?
  • Esse limite é igual a f(9)=36? Se for igual, a função é contínua; se não, não é contínua.]

Passo 2

Lembrete didático sobre continuidade num ponto (passo importante para a prova):
  • Uma função f é contínua em x=9 se e somente se \lim_{x\to9} f(x) existir e \lim_{x\to9} f(x)=f(9).
  • Então vamos calcular \lim_{x\to9} f(x) (se existir) e comparar com f(9)=36.

Passo 3

Tentativa direta de substituição para ver se já dá o limite:
  • Substituindo x=9 na expressão para x\neq9:
\text{numerador }=9^{2}-81=81-81=0, \qquad \text{denominador }=\sqrt{9-5}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0.
  • Obtemos a indeterminação 0/0. Isso significa que não podemos concluir o limite por substituição direta: é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 4

Explicação do truque a usar (aula rápida sobre racionalização):
  • Quando aparece \sqrt{\cdot}-2 no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x-5}+2. Isso usa a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} e “racionaliza” o denominador, transformando a diferença de raízes numa expressão sem raiz na parte do denominador.
  • Também é útil fatorar o numerador x^{2}-81 como (x-9)(x+9) para ver se um fator (x-9) cancela com algo do denominador.

Passo 5

Aplicando a fatoração e a racionalização passo a passo:
\frac{x^{2}-81}{\sqrt{x-5}-2} = \frac{(x-9)(x+9)}{\sqrt{x-5}-2}.
Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x-5}+2:
\frac{(x-9)(x+9)}{\sqrt{x-5}-2}\cdot\frac{\sqrt{x-5}+2}{\sqrt{x-5}+2} = \frac{(x-9)(x+9)\,(\sqrt{x-5}+2)}{(\sqrt{x-5}-2)(\sqrt{x-5}+2)}.
No denominador usamos a identidade do conjugado:
(\sqrt{x-5}-2)(\sqrt{x-5}+2)=(\sqrt{x-5})^{2}-2^{2}= (x-5)-4 = x-9.
Logo a expressão fica
\frac{(x-9)(x+9)\,(\sqrt{x-5}+2)}{x-9}.

Passo 6

Cancelamento e forma simplificada (válido para x\neq9, que é o caso da expressão original):
  • Como estamos considerando x\neq9, podemos cancelar o fator (x-9) do numerador e do denominador:
\frac{(x-9)(x+9)\,(\sqrt{x-5}+2)}{x-9}=(x+9)\,(\sqrt{x-5}+2),\qquad \text{para } x\neq9.
  • A função (para x\neq9) é equivalente à função g(x)=(x+9)(\sqrt{x-5}+2), e g é contínua em x=9 (é produto de funções contínuas onde a raiz está definida).

Passo 7

Cálculo do limite usando a forma simplificada:
  • Como a simplificação removeu a indeterminação, podemos agora fazer a substituição direta em g(x):
\lim_{x\to9} f(x)=\lim_{x\to9} (x+9)(\sqrt{x-5}+2) = (9+9)\big(\sqrt{9-5}+2\big).
  • Calculando:
(9+9)=18,\qquad \sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2,\qquad \text{então}ã
\lim_{x\to9} f(x)=18\cdot(2+2)=18\cdot4=72.
  • Conclusão: \lim_{x\to9} f(x)=72.

Passo 8

Comparação com o valor da função em x=9 e conclusão sobre continuidade:
  • Foi dado que f(9)=36.
  • Como \lim_{x\to9} f(x)=72\neq 36=f(9), a condição de continuidade falha.
  • Interpretação: existe limite finito quando x\to9, mas o valor atribuído à função em x=9 não coincide com esse limite. Portanto há uma descontinuidade removível (o limite existe, mas a função não foi definida com o valor do limite).

Resposta

\text{Não é contínua em }x=9,\text{ pois }\lim_{x\to9}f(x)=72\neq f(9)=36.ãéí

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