Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x, y, x+z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \quad T(x,y,z)=(x,y,x+z).
Queremos encontrar uma base e a dimensão de \mathrm{Im}(T) e de \ker(T), e usar rank–nullity para verificar se T é injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

Para obter \mathrm{Im}(T), calculamos as imagens dos vetores canônicos
\mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1). Observamos
T(\mathbf{e}_1)=(1,0,1),
T(\mathbf{e}_2)=(0,1,0) e
T(\mathbf{e}_3)=(0,0,1).

Passo 3

Os vetores (1,0,1), (0,1,0) e (0,0,1) são três vetores em \mathbb{R}^3 e podem ser verificados como linearmente independentes. Logo, eles formam uma base de \mathrm{Im}(T). Portanto
\text{base de }\mathrm{Im}(T)=\{(1,0,1),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}, \quad \dim \mathrm{Im}(T)=3.

Passo 4

Para \ker(T)\), resolvemos \[T(x,y,z)=(0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} x=0,\\\ y=0,\\\ x+z=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem x=0\] e \(y=0. Substituindo na terceira, 0+z=0 implica z=0. Assim
\ker(T)=\{(0,0,0)\}, \quad \dim \ker(T)=0.

Passo 5

Pela fórmula de rank–nullity
\dim \mathrm{Im}(T)+\dim \ker(T)=3,
temos 3+0=3, consistente com \dim \mathbb{R}^3=3. Como \ker(T)=\{0\}, T é injetiva. E como \dim \mathrm{Im}(T)=3=\dim do contradomínio, T é sobrejetiva.

Resposta

Uma base de \mathrm{Im}(T) é \{(1,0,1),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\} e \dim \mathrm{Im}(T)=3.
\ker(T)=\{(0,0,0)\} e \dim \ker(T)=0.
Logo T é injetiva e sobrejetiva (é um isomorfismo).

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