Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação
e verifique se
é injetiva e sobrejetiva:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar uma base e a dimensão de
e de
, e usar rank–nullity para verificar se
é injetiva e sobrejetiva.
Passo 2
Para obter
, calculamos as imagens dos vetores canônicos
,
,
. Observamos
,
e
.
Passo 3
Os vetores
,
e
são três vetores em
e podem ser verificados como linearmente independentes. Logo, eles formam uma base de
. Portanto
Passo 4
Para
Das duas primeiras equações vem
. Substituindo na terceira,
implica
. Assim
Passo 5
Pela fórmula de rank–nullity
temos
, consistente com
. Como
,
é injetiva. E como
do contradomínio,
é sobrejetiva.
Resposta
Uma base de
é
e
.
e
.
Logo é injetiva e sobrejetiva (é um isomorfismo).
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