Questão 2: Determine uma transformação linear
bijetora tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear bijetora
tais que
Como
é linear e querermos bijetividade, basta especificar
em uma base de
e garantir que as imagens formem uma base em
.
Passo 2
Vamos usar a base canônica
com
Já temos
Falta definir
. Escolhemos um vetor que não esteja no span de
; por exemplo
Agora as colunas da matriz de
na base canônica são
O determinante dessa matriz é
logo as colunas são linearmente independentes e
é bijetora.
Passo 3
Pela linearidade, para
vale
Somando componente a componente, obtemos
Resposta
A transformação linear desejada é
cuja matriz na base canônica é
e satisfaz
,
e
, logo é bijetora.