Questão 2: Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} bijetora tal que T(1,0,0)= (1,1,1) e T(0,0,1)=(0,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear bijetora
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
tais que
T(1,0,0)=(1,1,1), \qquad T(0,0,1)=(0,-1,0).
Como T é linear e querermos bijetividade, basta especificar T em uma base de \mathbb{R}^3 e garantir que as imagens formem uma base em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos usar a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} com
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
Já temos
T(e_1)=(1,1,1), \quad T(e_3)=(0,-1,0).
Falta definir T(e_2). Escolhemos um vetor que não esteja no span de \{T(e_1),T(e_3)\}; por exemplo
T(e_2)=(0,0,1).
Agora as colunas da matriz de T na base canônica são
T(e_1)=(1,1,1),\; T(e_2)=(0,0,1),\; T(e_3)=(0,-1,0).
O determinante dessa matriz é
\det\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 1&0&-1\\\\ 1&1&0 \end{pmatrix} =1\cdot\det\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix} =1\cdot(0-(-1))=1\neq0,
logo as colunas são linearmente independentes e T é bijetora.

Passo 3

Pela linearidade, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 vale
T(x,y,z) =x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3) =x\,(1,1,1)+y\,(0,0,1)+z\,(0,-1,0).
Somando componente a componente, obtemos
T(x,y,z)=(\,x,\;x-z,\;x+y\,).

Resposta

A transformação linear desejada é
T(x,y,z)=(x,\;x - z,\;x + y),
cuja matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
e satisfaz T(1,0,0)=(1,1,1), T(0,0,1)=(0,-1,0) e \det\neq0, logo é bijetora.

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