Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, w)=(0, x-z+2 w, 6 x, y+z).

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão da imagem e do núcleo de
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z,w)=(0,\;x-z+2w,\;6x,\;y+z),
e ainda verificar se T é injetiva e sobrejetiva.
Conteúdo: representação matricial de transformação linear, cálculo de posto (rank) e núcleo (nullspace), teorema do post o+nulidade.

Passo 2

Vamos achar a matriz de T na base canônica. Para isso calculamos T(e_{i}):
T(1,0,0,0)=(0,1,6,0),\quad T(0,1,0,0)=(0,0,0,1),
T(0,0,1,0)=(0,-1,0,1),\quad T(0,0,0,1)=(0,2,0,0).
Logo a matriz de T (colunas as imagens dos e_i) é
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 6 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Dimensionar a imagem equivale a calcular o posto de A. As três linhas não nulas
(1\;0\;-1\;2),\quad(6\;0\;0\;0),\quad(0\;1\;1\;0)
são linearmente independentes, então \rank(A)=3. Assim
\dim(\Im T)=3.
Uma base natural de \Im T é dada por três colunas independentes, por exemplo
\{\,T(e_{1}),\;T(e_{2}),\;T(e_{4})\} =\{(0,1,6,0),\;(0,0,0,1),\;(0,2,0,0)\}.

Passo 4

Para o núcleo resolvemos T(x,y,z,w)=0. As equações são
x - z + 2w = 0,
6x = 0,
y + z = 0.
Da segunda vem x=0. Substituindo em x - z +2w=0 -z+2w=0, logo z=2w. E y+z=0 y=-z=-2w. Assim
(x,y,z,w) = w\,(0,-2,2,1).
Então
\ker T = \mathrm{span}\{(0,-2,2,1)\}, \qquad \dim(\ker T)=1.

Passo 5

Pela dimensão do núcleo ( \neq0) T não é injetiva. Como \dim(\Im T)=3<4, T também não é sobrejetiva.

Resposta

Base de \Im T: \{(0,1,6,0),\,(0,0,0,1),\,(0,2,0,0)\}.
\dim(\Im T)=3.
Base de \ker T: \{(0,-2,2,1)\}.
\dim(\ker T)=1.
T não é injetiva e não é sobrejetiva.

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