Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva: T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, w)=(0, x-z+2 w, 6 x, y+z).
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão da imagem e do núcleo de
e ainda verificar se T é injetiva e sobrejetiva.
Conteúdo: representação matricial de transformação linear, cálculo de posto (rank) e núcleo (nullspace), teorema do posto+nulidade.
Passo 2
Vamos achar a matriz de T na base canônica. Para isso calculamos T(e_{i}):
Para o núcleo resolvemos T(x,y,z,w)=0. As equações são
x - z + 2w = 0,
6x = 0,
y + z = 0.
Da segunda vem x=0. Substituindo em x - z +2w=0 dá -z+2w=0, logo z=2w. E y+z=0 dá y=-z=-2w. Assim
(x,y,z,w) = w\,(0,-2,2,1).
Então
\ker T = \mathrm{span}\{(0,-2,2,1)\}, \qquad \dim(\ker T)=1.
Passo 5
Pela dimensão do núcleo (\neq0) T não é injetiva. Como \dim(\Im T)=3<4, T também não é sobrejetiva.
Resposta
Base de \Im T: \{(0,1,6,0),\,(0,0,0,1),\,(0,2,0,0)\}. \dim(\Im T)=3.
Base de \ker T: \{(0,-2,2,1)\}. \dim(\ker T)=1. T não é injetiva e não é sobrejetiva.