Questão 3 Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa; demonstrando ou dando contraexemplo conforme o caso. Respostas sem justificativa não serão consideradas.
[0,75 \mathrm{pt}]) Se
são duas matrizes então
.
[0,75 \mathrm{pt}]) Se
Passo 1
O enunciado afirma: "Se
são duas matrizes então
".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provar ou dar contraexemplo).
Informações dadas: e
são matrizes quadradas
, para um
genérico.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provar ou dar contraexemplo).
Informações dadas:
Passo 2
Vou lembrar e explicar propriedades do determinante que vou usar (sem assumir que já conhece).
- O determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada
um número real (ou complexo) e tem a propriedade de ser multilinear nas colunas: isso significa que, se a coluna de uma matriz é soma de duas colunas, então o determinante se distribui linearmente nessa coluna, mantendo as demais colunas fixas. Mais formalmente, se escrevemos uma matriz pela sua lista de colunas
onde cada
é o vetor coluna
, então para vetores
e escalar
vale
e
- Como consequência da multilinearidade aplicada simultaneamente a todas as colunas, o determinante é um polinômio homogêneo de grau
nas colunas: se multiplicarmos toda a matriz por um escalar , temos .
Essas propriedades deixam claro que o determinante não é linear como função que envia a matriz inteira para um número — é multilinear nas colunas separadamente. Por isso, ao fazer
geralmente aparecem vários termos misturados entre colunas de
e colunas de
, não apenas
e
.
Passo 3
Vou escrever explicitamente a expansão que surge da multilinearidade para tornar a razão do contraexemplo evidente. Escreva as colunas de
e
como
Então
Pela multilinearidade do determinante, a expansão de
é a soma de
determinantes, um para cada escolha, coluna a coluna, de pegar
ou
. Escrevendo isso em forma compacta:
onde para cada subconjunto
a matriz
tem coluna
igual a
se
e igual a
se
. Dois dos termos dessa soma são:
- o termo com
(nenhuma coluna trocada), que é ; - o termo com
(todas as colunas trocadas), que é .
Mas, em geral, existem muitos outros subconjuntos
não vazios nem completos, e seus determinantes
não precisam ser zero. Portanto, em geral
porque faltam na soma os termos “cruzados” correspondentes a escolhas mistas de colunas de
e
.
Para fixar a intuição, faço a expansão explícita no caso
. Com
e
:
Aqui aparecem quatro termos; apenas dois são
e
. Os dois termos do meio são, em geral, não nulos.
Passo 4
Agora dou um contraexemplo concreto (simples e direto) para mostrar que a afirmação é falsa já para
. Escolho
Calculo os dois lados da igualdade proposta.
Primeiro, o lado esquerdo:
logo, usando
,
Agora o lado direito:
Como
, a igualdade
falha para essas escolhas de
e
. Portanto a afirmação é falsa.]
Passo 5
Observações didáticas e casos em que ela vale:
- Para
(matrizes , isto é, números escalares) a afirmação é verdadeira porque o determinante é justamente o número; para e temos . - Em geral, para
a afirmação é falsa, salvo casos especiais em que todos os termos mistos da expansão por multilinearidade forem zero (por exemplo se for a matriz zero, ou se todas as determinantes mistas com nem vazio nem completo forem nulas por alguma razão estrutural). Mas não é verdadeira para todas as matrizes.
Força aí — a ideia central a lembrar para a prova: determinante é multilinear nas colunas (ou nas linhas), não é linear como função da matriz inteira; por isso não distribui sobre soma de matrizes do jeito pedido.
Resposta
Falsa.