Questão 3 Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa; demonstrando ou dando contraexemplo conforme o caso. Respostas sem justificativa não serão consideradas.
[0,75 \mathrm{pt}]) Se A, B \in M_{n} são duas matrizes então \operatorname{det}(A+2 B)=\operatorname{det}(A)+2^{n} \operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado afirma: "Se A,B\in M_n são duas matrizes então \det(A+2B)=\det(A)+2^{n}\det(B)".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provar ou dar contraexemplo).
Informações dadas: A e B são matrizes quadradas n\times n, para um n genérico.

Passo 2

Vou lembrar e explicar propriedades do determinante que vou usar (sem assumir que já conhece).
  1. O determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada n\times n um número real (ou complexo) e tem a propriedade de ser multilinear nas colunas: isso significa que, se a coluna i de uma matriz é soma de duas colunas, então o determinante se distribui linearmente nessa coluna, mantendo as demais colunas fixas. Mais formalmente, se escrevemos uma matriz A pela sua lista de colunas
A=(\;a_1,\;a_2,\;\dots,\;a_n\;),
onde cada a_i é o vetor coluna i, então para vetores u,v e escalar \lambda vale
\det(\;a_1,\dots,a_{i-1},\;u+v,\;a_{i+1},\dots,a_n\;) = \det(\;a_1,\dots,a_{i-1},\;u,\;a_{i+1},\dots,a_n\;) + \det(\;a_1,\dots,a_{i-1},\;v,\;a_{i+1},\dots,a_n\;)
e
\det(\;a_1,\dots,a_{i-1},\;\lambda u,\;a_{i+1},\dots,a_n\;) =\lambda\, \det(\;a_1,\dots,a_{i-1},\;u,\;a_{i+1},\dots,a_n\;).
  1. Como consequência da multilinearidade aplicada simultaneamente a todas as colunas, o determinante é um polinômio homogêneo de grau n nas colunas: se multiplicarmos toda a matriz por um escalar \lambda, temos \det(\lambda A)=\lambda^{n}\det(A).
Essas propriedades deixam claro que o determinante não é linear como função que envia a matriz inteira para um número — é multilinear nas colunas separadamente. Por isso, ao fazer \det(A+2B) geralmente aparecem vários termos misturados entre colunas de A e colunas de B, não apenas \det(A) e 2^{n}\det(B).

Passo 3

Vou escrever explicitamente a expansão que surge da multilinearidade para tornar a razão do contraexemplo evidente. Escreva as colunas de A e B como
A=(\;a_1,\dots,a_n\;),\qquad B=(\;b_1,\dots,b_n\;).
Então
A+2B=(\;a_1+2b_1,\;a_2+2b_2,\;\dots,\;a_n+2b_n\;).
Pela multilinearidade do determinante, a expansão de \det(A+2B) é a soma de 2^n determinantes, um para cada escolha, coluna a coluna, de pegar a_i ou 2b_i. Escrevendo isso em forma compacta:
\det(A+2B)=\sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}} 2^{|S|}\,\det(C_S),
onde para cada subconjunto S a matriz C_S tem coluna i igual a b_i se i\in S e igual a a_i se i\notin S. Dois dos termos dessa soma são:
  • o termo com S=\varnothing (nenhuma coluna trocada), que é 2^{0}\det(A)=\det(A);
  • o termo com S=\{1,\dots,n\} (todas as colunas trocadas), que é 2^{n}\det(B).
Mas, em geral, existem muitos outros subconjuntos S não vazios nem completos, e seus determinantes \det(C_S) não precisam ser zero. Portanto, em geral
\det(A+2B)\neq \det(A)+2^{n}\det(B),
porque faltam na soma os termos “cruzados” correspondentes a escolhas mistas de colunas de A e B.
Para fixar a intuição, faço a expansão explícita no caso n=2. Com A=(a_1,a_2) e B=(b_1,b_2):
\det(A+2B)=\det(a_1+2b_1,\;a_2+2b_2) =\det(a_1,a_2)+2\det(b_1,a_2)+2\det(a_1,b_2)+4\det(b_1,b_2).
Aqui aparecem quatro termos; apenas dois são \det(A) e 4\det(B). Os dois termos do meio são, em geral, não nulos.

Passo 4

Agora dou um contraexemplo concreto (simples e direto) para mostrar que a afirmação é falsa já para n=2. Escolho
A=I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B=I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calculo os dois lados da igualdade proposta.
Primeiro, o lado esquerdo:
A+2B=I_2+2I_2=3I_2=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},
logo, usando \det(\lambda I_n)=\lambda^{n},
\det(A+2B)=\det(3I_2)=3^{2}=9.
Agora o lado direito:
\det(A)+2^{n}\det(B)=\det(I_2)+2^{2}\det(I_2)=1+4\cdot 1=5.
Como 9\neq 5, a igualdade \det(A+2B)=\det(A)+2^{n}\det(B) falha para essas escolhas de A e B. Portanto a afirmação é falsa.]

Passo 5

Observações didáticas e casos em que ela vale:
  • Para n=1 (matrizes 1\times1, isto é, números escalares) a afirmação é verdadeira porque o determinante é justamente o número; para A=[a] e B=[b] temos \det(A+2B)=a+2b=\det(A)+2^{1}\det(B).
  • Em geral, para n\ge 2 a afirmação é falsa, salvo casos especiais em que todos os termos mistos da expansão por multilinearidade forem zero (por exemplo se B for a matriz zero, ou se todas as determinantes mistas \det(C_S) com S nem vazio nem completo forem nulas por alguma razão estrutural). Mas não é verdadeira para todas as matrizes.
Força aí — a ideia central a lembrar para a prova: determinante é multilinear nas colunas (ou nas linhas), não é linear como função da matriz inteira; por isso não distribui sobre soma de matrizes do jeito pedido.

Resposta

Falsa.

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