Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para 0 pela direita:
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x aproxima-se de 0 por valores positivos (isto é, x>0 e x\to0).
  • A expressão considerada é \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}, definida para x\neq 0.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente a expressão para ficar mais claro o comportamento quando x é pequeno. Fatorando \dfrac{1}{x^{2}} obtemos:
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\,(x-1).
Explicando o que fiz: multiplicando \dfrac{1}{x^{2}} por x \dfrac{1}{x}, e por -1 -\dfrac{1}{x^{2}}, então a fatoração está correta. Esse tipo de fatoração é útil porque separa um fator que cresce muito ( \dfrac{1}{x^{2}}) de outro que tende a um número finito ( x-1).

Passo 3

Analisemos o limite dos dois fatores quando x\to0^{+}:
  • O fator \dfrac{1}{x^{2}} é sempre positivo para x\neq0 e cresce sem limite quando x\to0^{+}. Logo
\frac{1}{x^{2}}\to +\infty\quad\text{quando}\quad x\to0^{+}.
  • O fator x-1 tende para -1 quando x\to0^{+}, pois simplesmente substituímos x por 0 no limite:
x-1\to -1\quad\text{quando}\quad x\to0^{+}.
Como o produto de um fator que tende para +\infty por um fator que tende para um número finito não-nulo ( -1) tende para +\infty vezes esse número, o sinal do produto será o sinal do número finito. Aqui o número finito é -1, portanto o produto tende para -\infty. Mais formalmente,
\frac{1}{x^{2}}(x-1)\longrightarrow (+\infty)\cdot(-1) = -\infty.
Um exemplo análogo e simples para fixar a ideia: \lim_{x\to0^{+}}\dfrac{2(x-1)}{x^{2}} = 2\cdot(-\infty) = -\infty.

Passo 4

Conclusão: a expressão diverge para menos infinito quando x tende a 0 pela direita. Em linguagem de limites, o limite não é um número real finito, mas sim -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados