Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para
pela direita:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável
aproxima-se de por valores positivos (isto é, e ). - A expressão considerada é
, definida para .
Passo 2
Vamos manipular algebricamente a expressão para ficar mais claro o comportamento quando
é pequeno. Fatorando
obtemos:
Explicando o que fiz: multiplicando
por
dá
, e por
dá
, então a fatoração está correta. Esse tipo de fatoração é útil porque separa um fator que cresce muito (
) de outro que tende a um número finito (
).
Passo 3
Analisemos o limite dos dois fatores quando
:
- O fator
é sempre positivo para e cresce sem limite quando . Logo
- O fator
tende para quando , pois simplesmente substituímos por no limite:
Como o produto de um fator que tende para
por um fator que tende para um número finito não-nulo (
) tende para
vezes esse número, o sinal do produto será o sinal do número finito. Aqui o número finito é
, portanto o produto tende para
. Mais formalmente,
Um exemplo análogo e simples para fixar a ideia:
.
Passo 4
Conclusão: a expressão diverge para menos infinito quando
tende a
pela direita. Em linguagem de limites, o limite não é um número real finito, mas sim
.