Questão 3. Determine o conjunto de pontos em que as funções abaixo são contínuas:
f(x, y, z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto de pontos em que a função
f(x,y,z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}
é contínua.
Informações dadas:
  • A função é definida para todos os triplets (x,y,z) reais (não há restrição no domínio).
  • O que se quer é o conjunto de pontos (x,y,z) onde f é contínua.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma clara e objetiva, a definição de continuidade em \mathbb{R}^3 (isso é útil para a prova): dada uma função f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} e um ponto (a,b,c)\in\mathbb{R}^3, dizemos que f é contínua em (a,b,c) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que
\|(x,y,z)-(a,b,c)\|<\delta
(entenda a norma euclidiana \|(x,y,z)-(a,b,c)\|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}), então
|f(x,y,z)-f(a,b,c)|<\varepsilon.
Em palavras: valores de entrada suficientemente próximos produzem valores de saída arbitrariamente próximos. Vou mostrar que essa propriedade vale para qualquer (a,b,c), portanto a função será contínua em todo \mathbb{R}^3.

Passo 3

Estratégia geral (útil para a prova): decompor f em operações básicas cuja continuidade já conhecemos. Escrevemos
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \qquad h(t)=e^{-t},
então f=h\circ g, ou seja f(x,y,z)=h\big(g(x,y,z)\big). Vou mostrar que g é contínua em qualquer ponto de \mathbb{R}^3, que h é contínua em qualquer ponto de \mathbb{R}, e então usar que composição de funções contínuas é contínua. Essa é a maneira mais direta e prática em prova. Para fixar o método, também apresento um esboço \varepsilon- \delta direto para g.

Passo 4

Mostrando que g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} é contínua em qualquer (a,b,c).
Primeiro ideia: cada função coordenada x\mapsto x^{2} é contínua em \mathbb{R}; soma de funções contínuas é contínua; portanto g é contínua. Mas vou dar um argumento \varepsilon- \delta elementar (útil para a prova escrita):
Tomemos (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 e um \varepsilon>0. Queremos \delta>0 tal que, se \|(x,y,z)-(a,b,c)\|<\delta, então
|g(x,y,z)-g(a,b,c)|<\varepsilon.
Começamos escrevendo
|g(x,y,z)-g(a,b,c)| = |x^{2}-a^{2}+y^{2}-b^{2}+z^{2}-c^{2}| \le |x^{2}-a^{2}|+|y^{2}-b^{2}|+|z^{2}-c^{2}|.
Agora, para uma variável qualquer, use a identidade u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v). Por exemplo
|x^{2}-a^{2}|=|x-a|\,|x+a|.
Se controlarmos x próximo de a com |x-a|<1, então |x|\le |a|+1 e portanto
|x+a|\le |x|+|a|\le 2|a|+1.
Logo, sob a condição |x-a|<1,
|x^{2}-a^{2}|\le (2|a|+1)\,|x-a|.
Fazendo o mesmo para y e z, e definindo
M=\max\{\,2|a|+1,\;2|b|+1,\;2|c|+1\,\},
temos, sempre que |x-a|<1,\;|y-b|<1,\;|z-c|<1,
|g(x,y,z)-g(a,b,c)| \le M\big(|x-a|+|y-b|+|z-c|\big).
Agora relacionamos a soma das diferenças com a norma euclidiana:
|x-a|+|y-b|+|z-c| \le \sqrt{3}\,\|(x,y,z)-(a,b,c)\|.
Portanto, se tomarmos \delta\le 1 e também \delta\le \dfrac{\varepsilon}{M\sqrt{3}}, então para \|(x,y,z)-(a,b,c)\|<\delta vale
|g(x,y,z)-g(a,b,c)| \le M\sqrt{3}\,\|(x,y,z)-(a,b,c)\| < M\sqrt{3}\,\delta \le \varepsilon.
Isso prova que g é contínua em (a,b,c). Como (a,b,c) foi arbitrário, g é contínua em todo \mathbb{R}^3.

Passo 5

Mostrando que h(t)=e^{-t} é contínua em \mathbb{R}.
A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em toda \mathbb{R}; a função t\mapsto -t (afim) é contínua; composição de contínuas é contínua. Assim h(t)=e^{-t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. (Se a prova exigir um argumento \varepsilon- \delta para e^{t}, pode-se usar propriedades da exponencial ou limites conhecidos; em exames é normalmente aceitável citar que exponencial é contínua.)

Passo 6

Conclusão por composição.
Já que g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é contínua em todo ponto e h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em todo ponto, a composição f=h\circ g é contínua em todo (a,b,c)\in\mathbb{R}^3. Portanto f é contínua em todo o domínio \mathbb{R}^3.
Dica prática para a prova: em uma questão parecida, basta dizer que x\mapsto x^{2} é contínua, soma de contínuas é contínua, t\mapsto e^{-t} é contínua, logo composição f é contínua — e se o avaliador pedir rigor extra, faça o argumento \varepsilon- \delta como no Passo 4.

Resposta

\displaystyle f é contínua em todo \mathbb{R}^{3}.

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