Questão 3. Determine o conjunto de pontos em que as funções abaixo são contínuas:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto de pontos em que a função
é contínua.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é definida para todos os triplets
reais (não há restrição no domínio). - O que se quer é o conjunto de pontos
onde é contínua.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma clara e objetiva, a definição de continuidade em
(isso é útil para a prova): dada uma função
e um ponto
, dizemos que
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
(entenda a norma euclidiana
), então
Em palavras: valores de entrada suficientemente próximos produzem valores de saída arbitrariamente próximos. Vou mostrar que essa propriedade vale para qualquer
, portanto a função será contínua em todo
.
Passo 3
Estratégia geral (útil para a prova): decompor
em operações básicas cuja continuidade já conhecemos. Escrevemos
então
, ou seja
. Vou mostrar que
é contínua em qualquer ponto de
, que
é contínua em qualquer ponto de
, e então usar que composição de funções contínuas é contínua. Essa é a maneira mais direta e prática em prova. Para fixar o método, também apresento um esboço
-
direto para
.
Passo 4
Mostrando que
é contínua em qualquer
.
Primeiro ideia: cada função coordenada
é contínua em
; soma de funções contínuas é contínua; portanto
é contínua. Mas vou dar um argumento
-
elementar (útil para a prova escrita):
Tomemos
e um
. Queremos
tal que, se
, então
Começamos escrevendo
Agora, para uma variável qualquer, use a identidade
. Por exemplo
Se controlarmos
próximo de
com
, então
e portanto
Logo, sob a condição
,
Fazendo o mesmo para
e
, e definindo
temos, sempre que
,
Agora relacionamos a soma das diferenças com a norma euclidiana:
Portanto, se tomarmos
e também
, então para
vale
Isso prova que
é contínua em
. Como
foi arbitrário,
é contínua em todo
.
Passo 5
Mostrando que
é contínua em
.
A função exponencial
é contínua em toda
; a função
(afim) é contínua; composição de contínuas é contínua. Assim
é contínua para todo
. (Se a prova exigir um argumento
-
para
, pode-se usar propriedades da exponencial ou limites conhecidos; em exames é normalmente aceitável citar que exponencial é contínua.)
Passo 6
Conclusão por composição.
Já que
é contínua em todo ponto e
é contínua em todo ponto, a composição
é contínua em todo
. Portanto
é contínua em todo o domínio
.
Dica prática para a prova: em uma questão parecida, basta dizer que
é contínua, soma de contínuas é contínua,
é contínua, logo composição
é contínua — e se o avaliador pedir rigor extra, faça o argumento
-
como no Passo 4.