Questão 2. Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(3,0,1)} e^{-x y} \log \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y,z)\to(3,0,1)} e^{-x y}\log\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • O ponto de interesse é (x,y,z)=(3,0,1).
  • A função em questão é F(x,y,z)=e^{-x y}\log\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • Note que F depende apenas de x e y; a variável z não aparece explicitamente na expressão.
  • No ponto dado, o argumento do log é x^{2}+y^{2}=3^{2}+0^{2}=9, portanto \log(9) é bem definido.

Passo 2

Vou explicar um pouco de teoria necessária (de modo prático): quando duas funções reais de várias variáveis são contínuas num ponto, o produto delas também é contínuo nesse ponto, e o limite do produto é o produto dos limites. Também usar-se-á que polinômios e exponenciais são funções contínuas em toda parte, e que a função \log é contínua em seu domínio (0,\infty).
O que isso significa em palavras simples: se for possível garantir que as partes e^{-x y} e \log(x^{2}+y^{2}) são definidas e contínuas numa vizinhança do ponto (3,0) em (x,y), então o limite buscado existe e é simplesmente o valor da função naquele ponto (porque produto de funções contínuas é contínuo).

Passo 3

Preciso checar se \log\!\big(x^{2}+y^{2}\big) está definido numa vizinhança de (3,0), ou seja, se x^{2}+y^{2}>0 perto de (3,0).
Escolho uma vizinhança simples: considere todos (x,y) com |x-3|<1 e |y-0|<1. Nessas condições temos |x|>2 (porque |x| \ge |3|-|x-3|>3-1=2), então
x^{2}+y^{2}\ge x^{2}>(2)^{2}=4>0.
Portanto, numa pequena bola ao redor de (3,0) o argumento x^{2}+y^{2} é estritamente positivo, e assim \log\!\big(x^{2}+y^{2}\big) está bem definida e é contínua nessa vizinhança.

Passo 4

Agora, justificar a continuidade das partes:
  • A função (x,y,z)\mapsto x y é polinomial em x e y, logo é contínua; portanto (x,y,z)\mapsto e^{-x y} é composição de funções contínuas (exponencial \circ polinomial), logo contínua.
  • A função (x,y,z)\mapsto x^{2}+y^{2} é polinomial, contínua, e como vimos seu valor é positivo numa vizinhança do ponto; então (x,y,z)\mapsto \log(x^{2}+y^{2}) é composição de contínuas e é contínua nessa vizinhança.
  • O produto de duas funções contínuas é contínuo.
Portanto F(x,y,z)=e^{-x y}\log\!\big(x^{2}+y^{2}\big) é contínua em (3,0,1). Para uma função contínua, o limite quando a variável tende a um ponto é o próprio valor da função nesse ponto.

Passo 5

Calcular o valor da função no ponto:
e^{-x y}\bigg|_{(3,0)}=e^{-(3)(0)}=e^{0}=1,
\log\!\big(x^{2}+y^{2}\big)\bigg|_{(3,0)}=\log(3^{2}+0^{2})=\log(9).
Multiplicando:
F(3,0,1)=1\cdot\log(9)=\log(9).

Resposta

\log(9)

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