Questão 2. Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações fornecidas e observações imediatas:
- O ponto de interesse é
. - A função em questão é
. - Note que
depende apenas de e ; a variável não aparece explicitamente na expressão. - No ponto dado, o argumento do log é
, portanto é bem definido.
Passo 2
Vou explicar um pouco de teoria necessária (de modo prático): quando duas funções reais de várias variáveis são contínuas num ponto, o produto delas também é contínuo nesse ponto, e o limite do produto é o produto dos limites. Também usar-se-á que polinômios e exponenciais são funções contínuas em toda parte, e que a função
é contínua em seu domínio
.
O que isso significa em palavras simples: se for possível garantir que as partes
e
são definidas e contínuas numa vizinhança do ponto
em
, então o limite buscado existe e é simplesmente o valor da função naquele ponto (porque produto de funções contínuas é contínuo).
Passo 3
Preciso checar se
está definido numa vizinhança de
, ou seja, se
perto de
.
Escolho uma vizinhança simples: considere todos
com
e
. Nessas condições temos
(porque
), então
Portanto, numa pequena bola ao redor de
o argumento
é estritamente positivo, e assim
está bem definida e é contínua nessa vizinhança.
Passo 4
Agora, justificar a continuidade das partes:
- A função
é polinomial em e , logo é contínua; portanto é composição de funções contínuas (exponencial polinomial), logo contínua. - A função
é polinomial, contínua, e como vimos seu valor é positivo numa vizinhança do ponto; então é composição de contínuas e é contínua nessa vizinhança. - O produto de duas funções contínuas é contínuo.
Portanto
é contínua em
. Para uma função contínua, o limite quando a variável tende a um ponto é o próprio valor da função nesse ponto.
Passo 5
Calcular o valor da função no ponto:
Multiplicando: