Questão 1 Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
  • \left(D^{2}-4 D+3\right) \omega=0.
  • \left(D^{2}-2 D+10\right)^{3} \omega=0
  • \left(D^{2}-2 D+2\right)^{2}(D+1)^{4} \omega=0
  • (D-2)\left(D^{2}-5 D+6\right)^{2}\left(D^{2}-2 D+2\right)^{2} \omega=0

Passo 1

O problema pede para determinar conjuntos de soluções linearmente independentes para quatro EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para cada uma, vamos formar o polinômio característico trocando D por r, fatorá-lo em raízes reais ou complexas, e então usar o seguinte critério:
Se r_{0} é raiz real de multiplicidade m, as soluções são
e^{r_{0}t},\;t\,e^{r_{0}t},\;\dots,\;t^{m-1}e^{r_{0}t}.
Se r_{0}=\alpha\pm i\beta é raiz complexa com multiplicidade m, as soluções reais são
e^{\alpha t}\cos(\beta t),\;e^{\alpha t}\sin(\beta t),\;t\,e^{\alpha t}\cos(\beta t),\;t\,e^{\alpha t}\sin(\beta t),\dots,t^{m-1}e^{\alpha t}\sin(\beta t).

Passo 2

Para \bigl(D^{2}-4D+3\bigr)\omega=0 o característico é
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3),
com raízes simples r=1 e r=3. Logo, um conjunto fundamental é
\omega_{1}(t)=e^{t},\qquad \omega_{2}(t)=e^{3t}.

Passo 3

Em \bigl(D^{2}-2D+10\bigr)^{3}\omega=0 temos
r^{2}-2r+10=0\implies r=1\pm3i,
cada raiz com multiplicidade 3. As seis soluções independentes reais são
e^{t}\cos(3t),\;e^{t}\sin(3t),\;t\,e^{t}\cos(3t),\;t\,e^{t}\sin(3t),\;t^{2}e^{t}\cos(3t),\;t^{2}e^{t}\sin(3t).

Passo 4

Para \bigl(D^{2}-2D+2\bigr)^{2}(D+1)^{4}\omega=0 o polinômio caracteriza-se por (r^{2}-2r+2)^{2}(r+1)^{4}. As raízes são r=1\pm i (multiplicidade 2) e r=-1 (multiplicidade 4). As oito soluções são
e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;t\,e^{t}\cos t,\;t\,e^{t}\sin t,
vindas de 1\pm i, e
e^{-t},\;t\,e^{-t},\;t^{2}e^{-t},\;t^{3}e^{-t},
vindas de -1.

Passo 5

Em (D-2)(D^{2}-5D+6)^{2}(D^{2}-2D+2)^{2}\omega=0 note que
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3),
de modo que o polinômio é (r-2)^{3}(r-3)^{2}(r^{2}-2r+2)^{2}. As raízes e multiplicidades são r=2 (m =3), r=3 (m =2) e r=1\pm i (m =2). Assim obtemos nove soluções:
e^{2t},\;t\,e^{2t},\;t^{2}e^{2t} \quad|\quad e^{3t},\;t\,e^{3t} \quad|\quad e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;t\,e^{t}\cos t,\;t\,e^{t}\sin t.

Resposta

(a) Para \bigl(D^{2}-4D+3\bigr)\omega=0:
\{\,e^{t},\;e^{3t}\}.
(b) Para \bigl(D^{2}-2D+10\bigr)^{3}\omega=0:
\{\,e^{t}\cos(3t),\;e^{t}\sin(3t),\;t\,e^{t}\cos(3t),\;t\,e^{t}\sin(3t),\;t^{2}e^{t}\cos(3t),\;t^{2}e^{t}\sin(3t)\}.
(c) Para \bigl(D^{2}-2D+2\bigr)^{2}(D+1)^{4}\omega=0:
\{\,e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;t\,e^{t}\cos t,\;t\,e^{t}\sin t,\;e^{-t},\;t\,e^{-t},\;t^{2}e^{-t},\;t^{3}e^{-t}\}.
(d) Para (D-2)(D^{2}-5D+6)^{2}(D^{2}-2D+2)^{2}\omega=0:
\{\,e^{2t},\;t\,e^{2t},\;t^{2}e^{2t},\;e^{3t},\;t\,e^{3t},\;e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;t\,e^{t}\cos t,\;t\,e^{t}\sin t\}.

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