Questão 1 Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
-
.
-
-
-
Passo 1
O problema pede para determinar conjuntos de soluções linearmente independentes para quatro EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para cada uma, vamos formar o polinômio característico trocando
por
, fatorá-lo em raízes reais ou complexas, e então usar o seguinte critério:
Se é raiz real de multiplicidade
, as soluções são
Se
Se
é raiz complexa com multiplicidade
, as soluções reais são
Passo 2
Para
o característico é
com raízes simples
e
. Logo, um conjunto fundamental é
Passo 3
Em
temos
cada raiz com multiplicidade 3. As seis soluções independentes reais são
Passo 4
Para
o polinômio caracteriza-se por
. As raízes são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 4). As oito soluções são
vindas de
, e
vindas de
.
Passo 5
Em
note que
de modo que o polinômio é
. As raízes e multiplicidades são
(m
),
(m
) e
(m
). Assim obtemos nove soluções:
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
:
(c) Para
:
(d) Para
: