Seja f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Calcule \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de \displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
sobre a região \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares, em que \displaystyle x=r\cos\theta, \displaystyle y=r\sin\theta e o elemento de área vira \displaystyle \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a condição x^{2}+y^{2}\le4 fica \displaystyle 0\le r\le2 e 0\le\theta\le2\pi.
Além disso, \displaystyle f(x,y)=\sqrt{r^{2}}=r para r\ge0.
Portanto, a integral fica
\iint_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}r\;\bigl(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\bigr) =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Primeiro calculamos a integral interna em r:
\int_{0}^{2}r^{2}\,\mathrm{d}r =\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2} =\frac{2^{3}}{3} =\frac{8}{3}.

Passo 4

Agora fazemos a integral em \theta, que é simples pois o integrando não depende de \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{8}{3}\,\mathrm{d}\theta =\frac{8}{3}\,\bigl(2\pi-0\bigr) =\frac{16\pi}{3}.

Resposta

\frac{16\pi}{3}

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