Seja f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Calcule \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de \displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
sobre a região \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares, em que \displaystyle x=r\cos\theta, \displaystyle y=r\sin\theta e o elemento de área vira \displaystyle \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Passo 2
Em coordenadas polares, a condição x^{2}+y^{2}\le4 fica \displaystyle 0\le r\le2 e 0\le\theta\le2\pi.
Além disso, \displaystyle f(x,y)=\sqrt{r^{2}}=r para r\ge0.
Portanto, a integral fica