Questão 2 Determine uma solução particular para as seguintes EDOs:
  • \left(D^{2}-6 D+8\right) \omega=f(x)
  • \left(D^{2}-2 D+2\right) \omega=f(x)

Passo 1

Estamos diante de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes com segundo membro arbitrário f(x). O objetivo é encontrar uma solução particular \omega_p(x) usando o método de inversão do operador diferencial, que equivale a escrever
\omega_p = \frac{1}{P(D)}\,f(x)
e interpretar 1/P(D) como convolução com a função de Green G(x), cuja transformada de Laplace é 1/P(s).

Passo 2

Para a primeira EDO temos
\bigl(D^2 -6D+8\bigr)\,\omega=f(x).
Note que o polinômio se fatoriza como
D^2 -6D+8 = (D-2)(D-4).
Logo
\frac{1}{(D-2)(D-4)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{D-2}-\frac{1}{D-4}\Bigr).
Cada termo \tfrac1{D-a} corresponde à convolução com e^{a x},:

Passo 3

Portanto a solução particular fica
\omega_p^{(1)}(x) =\frac{1}{2}\Bigl(e^{2x}-e^{4x}\Bigr)*f(x) =\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\bigl(e^{2(x-s)}-e^{4(x-s)}\bigr)\,f(s)\,ds.

Passo 4

Para a segunda EDO temos
\bigl(D^2 -2D+2\bigr)\,\omega=f(x).
Observe que
D^2 -2D+2=(D-1)^2+1,
cuja transformada inversa é a função de Green
G(x)=e^{x}\sin(x),
pois
\mathcal{L}\{e^{x}\sin(x)\}(s) =\frac{1}{(s-1)^2+1}.

Passo 5

Logo a solução particular é
\omega_p^{(2)}(x) =\bigl(e^{x}\sin x\bigr)*f(x) =\int_{0}^{x}e^{\,x-s}\,\sin(x-s)\;f(s)\,ds.

Resposta

Para \bigl(D^2-6D+8\bigr)\,\omega=f(x):
\omega_p(x) =\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\bigl(e^{2(x-s)}-e^{4(x-s)}\bigr)\,f(s)\,ds.
Para \bigl(D^2-2D+2\bigr)\,\omega=f(x):
\omega_p(x) =\int_{0}^{x}e^{\,x-s}\,\sin(x-s)\;f(s)\,ds.

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