Questão 5. Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}.
Informações dadas:
O termo geral é \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n+1}.
O sinal alterna, pois aparece o fator (-1)^{n+1}.
A parte de módulo do termo é b_n=\dfrac{1}{2n+1}, que é positiva para todo n.
O que precisa ser respondido: a série converge ou diverge? Se converge, é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente?
Passo 2
Verificar a convergência usando o teste apropriado para séries alternadas.
Defino b_n=\dfrac{1}{2n+1} (os termos positivos que multiplicam (-1)^{n+1}). Vou checar duas coisas: se (b_n) é decrescente e se \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Monotonicidade (decrescimento). Compare b_{n+1} e b_n:
Teorema usado (enunciado e ideia): se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada \sum (-1)^{n} b_n converge. Intuição rápida: os termos positivos e negativos vão se “cancelando” cada vez melhor porque b_n vai a zero e a soma parcial oscila dentro de um intervalo cuja amplitude decresce.
Aplicando: como (b_n) é decrescente e tende a 0, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}
converge.
Passo 3
Verificar se a convergência é absoluta ou condicional.
Esse limite é finito e positivo (\tfrac{1}{2}>0), portanto as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Como \sum \dfrac{1}{n} diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}
também diverge.
Conclusão: a série dos módulos diverge, então a série original não é absolutamente convergente. Como já demonstramos que ela converge, a convergência é condicional.
Passo 4
Comentário prático (útil na prova): estimativa do erro ao truncar a soma. Se S for a soma da série e S_N=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n+1}}{2n+1} a soma parcial, então o resto R_N=S-S_N satisfaz