Questão 5. Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}.
Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n+1}.
  • O sinal alterna, pois aparece o fator (-1)^{n+1}.
  • A parte de módulo do termo é b_n=\dfrac{1}{2n+1}, que é positiva para todo n.
O que precisa ser respondido: a série converge ou diverge? Se converge, é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente?

Passo 2

Verificar a convergência usando o teste apropriado para séries alternadas.
  1. Defino b_n=\dfrac{1}{2n+1} (os termos positivos que multiplicam (-1)^{n+1}). Vou checar duas coisas: se (b_n) é decrescente e se \lim_{n\to\infty} b_n=0.
  2. Monotonicidade (decrescimento). Compare b_{n+1} e b_n:
b_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)+1}=\frac{1}{2n+3},\qquad b_n=\frac{1}{2n+1}.
Como 2n+3>2n+1 para todo n\ge1, segue que
\frac{1}{2n+3}<\frac{1}{2n+1},
ou seja, b_{n+1}<b_n. Logo (b_n) é decrescente.
  1. Limite de b_n. Como o denominador 2n+1\to\infty quando n\to\infty, tem-se
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.
  1. Teorema usado (enunciado e ideia): se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada \sum (-1)^{n} b_n converge. Intuição rápida: os termos positivos e negativos vão se “cancelando” cada vez melhor porque b_n vai a zero e a soma parcial oscila dentro de um intervalo cuja amplitude decresce.
  2. Aplicando: como (b_n) é decrescente e tende a 0, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}
converge.

Passo 3

Verificar se a convergência é absoluta ou condicional.
  1. Considere a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}.
  1. Teste de comparação (comparação-limite) com a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que diverge. Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Esse limite é finito e positivo ( \tfrac{1}{2}>0), portanto as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Como \sum \dfrac{1}{n} diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}
também diverge.
  1. Conclusão: a série dos módulos diverge, então a série original não é absolutamente convergente. Como já demonstramos que ela converge, a convergência é condicional.

Passo 4

Comentário prático (útil na prova): estimativa do erro ao truncar a soma. Se S for a soma da série e S_N=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n+1}}{2n+1} a soma parcial, então o resto R_N=S-S_N satisfaz
|R_N|\le b_{N+1}=\frac{1}{2(N+1)+1}=\frac{1}{2N+3}.
Isso significa que o erro ao usar S_N é no máximo \dfrac{1}{2N+3}. Exemplo rápido: S_3 aproxima S com erro no máximo 1/(2\cdot3+3)=1/9.

Resposta

Converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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