Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
k) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}
e pede para determinar se essa série converge ou diverge (não é necessário calcular o valor). Informação relevante extraída do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
  • Todos os termos a_n são positivos para n\ge 1.

Passo 2

Apresentar o critério que vamos usar (explicado de forma didática): o teste da razão (ou critério de d’Alembert). Ele diz o seguinte:
  • Se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui os a_n são os termos da série. A ideia intuitiva é comparar o tamanho do termo seguinte com o atual: se os termos vão diminuindo geometricamente (razão limite menor que 1) a soma converge.

Passo 3

Calcular explicitamente a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a_n=\dfrac{n!}{n^{n}} temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)!\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1} n!}.
Simplificando (n+1)!/n! = n+1, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 4

Calcular o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Para avaliar esse limite, escrevemos
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}{}^{\!\frac{n}{\,n+1}}.
Sabe-se (definição clássica do número e) que
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}=e^{-1}.
Tomando m=n+1 e lembrando que \dfrac{n}{n+1}\to 1, segue que
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = e^{-1}.
Numericamente, e^{-1}\approx 0{,}3679.

Passo 5

Aplicando o teste da razão: o limite da razão é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}<1.
Pelo critério da razão, como L<1, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}} converge. Além disso, os termos são positivos, logo a convergência é absoluta (mas, para termos positivos, “convergência” já implica que a soma é finita).

Resposta

Converge absolutamente.

Exercícios relacionados