Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
k)
k)
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
e pede para determinar se essa série converge ou diverge (não é necessário calcular o valor). Informação relevante extraída do enunciado:
- O termo geral é
. - Todos os termos
são positivos para .
Passo 2
Apresentar o critério que vamos usar (explicado de forma didática): o teste da razão (ou critério de d’Alembert). Ele diz o seguinte:
- Se
existe e , então a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui os
são os termos da série. A ideia intuitiva é comparar o tamanho do termo seguinte com o atual: se os termos vão diminuindo geometricamente (razão limite menor que 1) a soma converge.
Passo 3
Calcular explicitamente a razão
. Usando
temos
Simplificando
, obtemos
Passo 4
Calcular o limite da razão quando
:
Para avaliar esse limite, escrevemos
Sabe-se (definição clássica do número
) que
Tomando
e lembrando que
, segue que
Numericamente,
.
Passo 5
Aplicando o teste da razão: o limite da razão é
Pelo critério da razão, como
, a série
converge. Além disso, os termos são positivos, logo a convergência é absoluta (mas, para termos positivos, “convergência” já implica que a soma é finita).
Resposta
Converge absolutamente.