Questão 2. Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+1}}{9^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série abaixo converge ou diverge e, se for convergente, calcular a sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+1}}{9^{n}}.
Informações fornecidas:
  • A série é dada termo a termo por \dfrac{7^{n+1}}{9^{n}} para n=1,2,\dots.
  • As perguntas são: (i) converge ou diverge? (ii) se converge, qual é a soma?

Passo 2

Vou manipular o termo geral para ver uma forma mais clara. Note que 7^{n+1}=7\cdot7^{n}. Então
\frac{7^{n+1}}{9^{n}} = 7\cdot\frac{7^{n}}{9^{n}} = 7\cdot\left(\frac{7}{9}\right)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+1}}{9^{n}} = 7\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{7}{9}\right)^{n}.

Passo 3

Agora é útil lembrar o que é uma série geométrica e quando ela converge. Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo (para n=0) e r é a razão. Uma forma equivalente, com soma começando em n=1, é
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n}.
Condições e fórmula de soma (explicando as letras):
  • \,r é a razão comum entre termos consecutivos.
  • Se |r|<1, a série geométrica converge e sua soma é dada por \dfrac{a}{1-r} quando o somatório começa em n=0. Se a série começa em n=1 com termos a r^{n}, a soma é \dfrac{a r}{1-r} (ou, alternativamente, pode-se ajustar a para o primeiro termo real da soma).
  • Se |r|\ge 1, a série diverge (os termos não tendem a zero suficientemente rápido).
Vou agora mostrar rapidamente de onde vem a fórmula da soma para fixar bem a ideia.

Passo 4

Derivação da fórmula da soma de uma geométrica (passo a passo, sem pular):
Considere a soma parcial com N termos, tomando a forma \sum_{k=0}^{N} a r^{k}. Chame essa soma de S_{N}:
S_{N}=a+a r+a r^{2}+\cdots+a r^{N}.
Multiplicando por r obtemos
r S_{N}=a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N} + a r^{N+1}.
Subtraindo as duas igualdades:
S_{N}-r S_{N}=a - a r^{N+1}.
Fatorando S_{N}:
S_{N}(1-r)=a(1-r^{N+1}).
Logo a soma parcial é
S_{N}=\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r},\qquad \text{se } r\neq 1.
Agora, se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Tomando limite N\to\infty obtemos a soma infinita:
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1-r}.
Se a série começa em n=1 com termos a r^{n}, então a soma é
\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n} = \frac{a r}{1-r}.
Isso mostra de onde vem a fórmula e por que é necessário |r|<1.

Passo 5

Voltemos ao nosso caso. Reescrevemos a série como
7\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{7}{9}\right)^{n}.
Aqui a razão é r=\dfrac{7}{9}. O fator 7 pode ser tratado como a multiplicando a soma padrão. Também podemos identificar o primeiro termo da série (para n=1):
\text{termo }n=1 = 7\left(\frac{7}{9}\right) = \frac{49}{9}.
Ambas as visões são equivalentes; vou usar a fórmula direta para \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}.

Passo 6

Teste de convergência: calcule o valor absoluto da razão:
\left|r\right|=\left|\frac{7}{9}\right|=\frac{7}{9}.
Como \dfrac{7}{9}<1, a série geométrica converge. Então podemos aplicar a fórmula da soma.

Passo 7

Cálculo da soma passo a passo. Usando a identidade
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r},
temos
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{7}{9}\right)^{n} = \frac{\tfrac{7}{9}}{1-\tfrac{7}{9}}.
Calcule o denominador:
1-\frac{7}{9}=\frac{9-7}{9}=\frac{2}{9}.
Portanto
\frac{\tfrac{7}{9}}{\tfrac{2}{9}}=\frac{7}{9}\cdot\frac{9}{2}=\frac{7}{2}.
Lembrando o fator 7 no início, a soma da série original é
7\cdot\frac{7}{2}=\frac{49}{2}.

Passo 8

Conclusão final (detalhando): a série converge porque a razão geométrica \dfrac{7}{9} tem módulo menor que 1, e a soma é \dfrac{49}{2}. Um comentário de ânimo: excelente — reconhecer uma série geométrica e aplicar a fórmula é uma das técnicas mais úteis para provas; você conseguiu ver a estrutura ao fatorar 7^{n+1}.

Resposta

Converge; soma =\dfrac{49}{2}

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