Questão 2. Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+1}}{9^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série abaixo converge ou diverge e, se for convergente, calcular a sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+1}}{9^{n}}.
Informações fornecidas:
A série é dada termo a termo por \dfrac{7^{n+1}}{9^{n}} para n=1,2,\dots.
As perguntas são: (i) converge ou diverge? (ii) se converge, qual é a soma?
Passo 2
Vou manipular o termo geral para ver uma forma mais clara. Note que 7^{n+1}=7\cdot7^{n}. Então
Agora é útil lembrar o que é uma série geométrica e quando ela converge. Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo (para n=0) e r é a razão. Uma forma equivalente, com soma começando em n=1, é
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n}.
Condições e fórmula de soma (explicando as letras):
\,r é a razão comum entre termos consecutivos.
Se |r|<1, a série geométrica converge e sua soma é dada por \dfrac{a}{1-r} quando o somatório começa em n=0. Se a série começa em n=1 com termos a r^{n}, a soma é \dfrac{a r}{1-r} (ou, alternativamente, pode-se ajustar a para o primeiro termo real da soma).
Se |r|\ge 1, a série diverge (os termos não tendem a zero suficientemente rápido).
Vou agora mostrar rapidamente de onde vem a fórmula da soma para fixar bem a ideia.
Passo 4
Derivação da fórmula da soma de uma geométrica (passo a passo, sem pular):
Considere a soma parcial com N termos, tomando a forma \sum_{k=0}^{N} a r^{k}. Chame essa soma de S_{N}:
S_{N}=a+a r+a r^{2}+\cdots+a r^{N}.
Multiplicando por r obtemos
r S_{N}=a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N} + a r^{N+1}.
Aqui a razão é r=\dfrac{7}{9}. O fator 7 pode ser tratado como a multiplicando a soma padrão. Também podemos identificar o primeiro termo da série (para n=1):
Lembrando o fator 7 no início, a soma da série original é
7\cdot\frac{7}{2}=\frac{49}{2}.
Passo 8
Conclusão final (detalhando): a série converge porque a razão geométrica \dfrac{7}{9} tem módulo menor que 1, e a soma é \dfrac{49}{2}. Um comentário de ânimo: excelente — reconhecer uma série geométrica e aplicar a fórmula é uma das técnicas mais úteis para provas; você conseguiu ver a estrutura ao fatorar 7^{n+1}.