Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
h) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4^{n}}{n+6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4^{n}}{n+6^{n}}.
Informações que temos e que são úteis:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n+4^{n}}{n+6^{n}}.
  • Todos os termos a_n são positivos para n\ge1.
  • Não é pedido o valor da soma, apenas se a série converge ou diverge.

Passo 2

Verificar a condição necessária para convergência (teste do termo geral): se a série \sum a_n converge então \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Vamos calcular esse limite para ver se pelo menos essa condição é satisfeita.
Dividindo numerador e denominador por 6^{n} (a maior potência exponencial que aparece) obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{n}{6^{n}} + \left(\dfrac{4}{6}\right)^{n}}{\dfrac{n}{6^{n}} + 1}.
Aqui \dfrac{n}{6^{n}}\to0 e \left(\dfrac{4}{6}\right)^{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\to0 quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{0+0}{0+1}=0.
Portanto a condição necessária é satisfeita, mas isso não garante convergência — é apenas um passo preliminar.

Passo 3

Estratégia para decidir convergência: observar que, para n grande, 4^{n} domina n no numerador e 6^{n} domina n no denominador, então heurísticamente
a_n \sim \frac{4^{n}}{6^{n}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} é convergente porque é geométrica com razão r=\dfrac{2}{3} e |r|<1. Vamos usar um teste que transforma essa heurística em argumento rigoroso: o teste de comparação por limite (limit comparison test).

Passo 4

Apresentando o teste de comparação por limite (em palavras simples): se a_n>0 e b_n>0 e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existir e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n são ambos convergentes ou ambos divergentes. Aqui escolhemos
b_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Calculemos o limite L:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\,\dfrac{n+4^{n}}{n+6^{n}}\,}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}} = \frac{n+4^{n}}{n+6^{n}}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}.
Agora note que 4^{n}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}=6^{n}, então
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n} + 6^{n}}{n+6^{n}}.
Dividindo numerador e denominador por 6^{n} obtemos
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{n}{6^{n}}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n} + 1}{\dfrac{n}{6^{n}} + 1} = \frac{n\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n} + 1}{\dfrac{n}{6^{n}} + 1}.
Observando que n\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\to0 e \dfrac{n}{6^{n}}\to0, segue que
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{0+1}{0+1}=1.
Como L=1 está em (0,\infty), o teste de comparação por limite se aplica.

Passo 5

Conclusão a partir do teste: como L=1 e sabemos que \sum b_n=\sum \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} é convergente (série geométrica com razão \dfrac{2}{3}), então \sum a_n também converge. Além disso, todos os termos são positivos, então não há questão de convergência condicional/absoluta — a série é convergente (e, no sentido usual, absolutamente, já que termos positivos).

Resposta

Converge.

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