Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
Informações que temos e que são úteis:
- O termo geral da série é
. - Todos os termos
são positivos para . - Não é pedido o valor da soma, apenas se a série converge ou diverge.
Passo 2
Verificar a condição necessária para convergência (teste do termo geral): se a série
converge então
. Vamos calcular esse limite para ver se pelo menos essa condição é satisfeita.
Dividindo numerador e denominador por
(a maior potência exponencial que aparece) obtemos
Aqui
e
quando
. Logo
Portanto a condição necessária é satisfeita, mas isso não garante convergência — é apenas um passo preliminar.
Passo 3
Estratégia para decidir convergência: observar que, para
grande,
domina
no numerador e
domina
no denominador, então heurísticamente
A série geométrica
é convergente porque é geométrica com razão
e
. Vamos usar um teste que transforma essa heurística em argumento rigoroso: o teste de comparação por limite (limit comparison test).
Passo 4
Apresentando o teste de comparação por limite (em palavras simples): se
e
e
existir e
, então
e
são ambos convergentes ou ambos divergentes. Aqui escolhemos
Calculemos o limite
:
Agora note que
, então
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Observando que
e
, segue que
Como
está em
, o teste de comparação por limite se aplica.
Passo 5
Conclusão a partir do teste: como
e sabemos que
é convergente (série geométrica com razão
), então
também converge. Além disso, todos os termos são positivos, então não há questão de convergência condicional/absoluta — a série é convergente (e, no sentido usual, absolutamente, já que termos positivos).
Resposta
Converge.