Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n} para n=1,2,3,\dots.
  • A soma é tomada de n=1 até \infty.
  • Não é pedido o valor da soma, apenas sua convergência.

Passo 2

Observação sobre o sinal dos termos: para todo n\ge 1,
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}>0\quad\text{e}\quad e^{-n}>0,
logo a_n>0. Portanto estamos diante de uma série de termos positivos. Para séries de termos positivos, falar que a série converge é o mesmo que dizer que ela converge absolutamente — não há sinais alternados para complicar.

Passo 3

Estratégia útil (explicação didática): uma maneira simples de mostrar convergência é comparar com uma série geométrica conhecida. Lembretes:
  • Uma série geométrica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é finita (mas aqui só precisamos da convergência).
  • Note que e^{-n}=(e^{-1})^{n} é uma sequência geométrica em n com razão r=e^{-1}. Como e>1, tem-se 0<e^{-1}<1, logo a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} é geométrica convergente.

Passo 4

Agora vamos controlar o fator polinomial \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2} por uma constante independente de n. Para todo n\ge1 vale
1+\frac{1}{n}\le 1+1=2,
portanto
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\le 2^{2}=4.
Assim obtemos uma desigualdade simples para os termos:
0\le a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}\le 4 e^{-n}.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação direta (explicação do teste): se \displaystyle 0\le a_n\le b_n para todo n suficiente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui podemos tomar b_n=4e^{-n}. Como \sum e^{-n} converge (é geométrica com razão e^{-1}<1), então \sum 4 e^{-n} também converge (é só multiplicar por 4). Pela desigualdade do Passo 4, concluímos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.

Passo 6

Comentário adicional (verificação alternativa): pelo teste da comparação limite, calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{e^{-n}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}=1.
Como o limite é um número finito e positivo, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento de \sum e^{-n}. Como \sum e^{-n} converge, isso confirma a convergência de \sum a_n. Esta verificação é só um reforço da conclusão anterior.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n} converge (convergência absoluta).

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