Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações importantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
para . - A soma é tomada de
até . - Não é pedido o valor da soma, apenas sua convergência.
Passo 2
Observação sobre o sinal dos termos: para todo
,
logo
. Portanto estamos diante de uma série de termos positivos. Para séries de termos positivos, falar que a série converge é o mesmo que dizer que ela converge absolutamente — não há sinais alternados para complicar.
Passo 3
Estratégia útil (explicação didática): uma maneira simples de mostrar convergência é comparar com uma série geométrica conhecida. Lembretes:
- Uma série geométrica
converge se, e somente se, . Nesse caso a soma é finita (mas aqui só precisamos da convergência). - Note que
é uma sequência geométrica em com razão . Como , tem-se , logo a série é geométrica convergente.
Passo 4
Agora vamos controlar o fator polinomial
por uma constante independente de
. Para todo
vale
portanto
Assim obtemos uma desigualdade simples para os termos:
Passo 5
Aplicando o teste de comparação direta (explicação do teste): se
para todo
suficiente grande e
converge, então
também converge. Aqui podemos tomar
. Como
converge (é geométrica com razão
), então
também converge (é só multiplicar por
). Pela desigualdade do Passo 4, concluímos que
converge.
Passo 6
Comentário adicional (verificação alternativa): pelo teste da comparação limite, calcular
Como o limite é um número finito e positivo, a série
tem o mesmo comportamento de
. Como
converge, isso confirma a convergência de
. Esta verificação é só um reforço da conclusão anterior.
Resposta
A série
converge (convergência absoluta).