Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
f) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+\sin n}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+\sin n}{10^{n}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A série é a soma dos termos \dfrac{1+\sin n}{10^{n}} para n=1,2,\dots.
  • Sabe-se que, para todo n, \sin n está entre -1 e 1; ou seja,
-1 \le \sin n \le 1.
  • Da desigualdade acima segue que o numerador satisfaz
0 \le 1+\sin n \le 2.
A pergunta é: a série converge? E que tipo de convergência (condicional ou absoluta)?

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: separar a série em duas somas (linha por linha, usar linearidade depois que as séries individuais convergirem):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+\sin n}{10^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{10^{n}}.
Agora vou analisar cada uma dessas séries separadamente. Essa separação é legítima se ambas as séries à direita convergirem — por isso vamos provar a convergência de cada uma.

Passo 3

Análise da primeira série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^{n}}.
Esta é uma série geométrica de razão r=\dfrac{1}{10}. Relembrando (pequena aula): uma série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}
converge se, e somente se, |r|<1. No caso, podemos ver \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^{n}} = \dfrac{1}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n}, com razão \dfrac{1}{10} cujo valor absoluto é menor que 1. Logo essa série converge (para um número finito). Portanto a primeira série é convergente.

Passo 4

Análise da segunda série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin n}{10^{n}} usando teste da comparação para convergência absoluta.
Primeiro, defino o que é convergência absoluta (rápida explicação): uma série \sum a_n converge absolutamente se \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge (isso é um teorema padrão).
Aqui, para todo n,
\left|\frac{\sin n}{10^{n}}\right|=\frac{|\sin n|}{10^{n}}\le\frac{1}{10^{n}},
porque |\sin n|\le1. Já vimos no Passo 3 que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^{n}} é convergente. Pelo teste da comparação (se 0\le b_n\le c_n e \sum c_n converge então \sum b_n converge), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{10^{n}}
converge. Portanto a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin n}{10^{n}} converge absolutamente.

Passo 5

Conclusão combinada e interpretação final.
  • A primeira parcela \sum \dfrac{1}{10^{n}} converge (série geométrica).
  • A segunda parcela \sum \dfrac{\sin n}{10^{n}} converge absolutamente (teste da comparação com \dfrac{1}{10^{n}}).
  • Como cada parcela converge, a soma das duas também converge. Além disso, como a série dos valores absolutos do termo original é limitada por 2\sum 1/10^n (veja abaixo), a série original converge absolutamente.
Comentário rápido e motivador: uma maneira direta de ver a absoluta convergência do termo original é observar
\left|\frac{1+\sin n}{10^{n}}\right|\le\frac{1+|\sin n|}{10^{n}}\le\frac{2}{10^{n}},
e \sum \dfrac{2}{10^{n}} = 2\sum \dfrac{1}{10^{n}} converge, então \sum \left|\dfrac{1+\sin n}{10^{n}}\right| converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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