Agora vou analisar cada uma dessas séries separadamente. Essa separação é legítima se ambas as séries à direita convergirem — por isso vamos provar a convergência de cada uma.
Passo 3
Análise da primeira série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^{n}}.
Esta é uma série geométrica de razão r=\dfrac{1}{10}. Relembrando (pequena aula): uma série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}
converge se, e somente se, |r|<1. No caso, podemos ver \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^{n}} = \dfrac{1}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n}, com razão \dfrac{1}{10} cujo valor absoluto é menor que 1. Logo essa série converge (para um número finito). Portanto a primeira série é convergente.
Passo 4
Análise da segunda série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin n}{10^{n}} usando teste da comparação para convergência absoluta.
Primeiro, defino o que é convergência absoluta (rápida explicação): uma série \sum a_n converge absolutamente se \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge (isso é um teorema padrão).
porque |\sin n|\le1. Já vimos no Passo 3 que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^{n}} é convergente. Pelo teste da comparação (se 0\le b_n\le c_n e \sum c_n converge então \sum b_n converge), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{10^{n}}
converge. Portanto a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin n}{10^{n}} converge absolutamente.
Passo 5
Conclusão combinada e interpretação final.
A primeira parcela \sum \dfrac{1}{10^{n}} converge (série geométrica).
A segunda parcela \sum \dfrac{\sin n}{10^{n}} converge absolutamente (teste da comparação com \dfrac{1}{10^{n}}).
Como cada parcela converge, a soma das duas também converge. Além disso, como a série dos valores absolutos do termo original é limitada por 2\sum 1/10^n (veja abaixo), a série original converge absolutamente.
Comentário rápido e motivador: uma maneira direta de ver a absoluta convergência do termo original é observar