Questão 6: Determine a derivada, se existir, das funções nos pontos indicados a seguir:
f(x)= \begin{cases}\operatorname{Cos}(x), & \text { se } x<0 ; \\\\ 0, & \text { se } x=0 ; \\\ \operatorname{Cos}(-x), & \text { se } x>0 ;\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \operatorname{Cos}(x), & \text{se } x<0,\\[4pt] 0, & \text{se } x=0,\\[4pt] \operatorname{Cos}(-x), & \text{se } x>0, \end{cases}
e pede para determinar a derivada, se existir, nos pontos indicados. Vou entender “pontos indicados” como as três regiões naturais da definição: x<0, x=0 e x>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<0 a função vale \operatorname{Cos}(x).
  • Para x=0 a função vale 0.
  • Para x>0 a função vale \operatorname{Cos}(-x).]

Passo 2

A ideia geral: para saber a derivada em pontos interiores de cada ramo (ou seja, para x<0 e x>0) podemos calcular a derivada da expressão daquela parte. Lembrete importante (conceito usado): se uma função é diferenciável num ponto então ela é contínua nesse ponto. Portanto, se encontrarmos descontinuidade em x=0 isso já implica que não há derivada em 0.
Antes de aplicar regras, vale rever a derivada da função cosseno (essa é uma fórmula que usaremos). A regra (teorema) é:
\text{Se } g(x)=\cos x,\quad\text{então } g'(x)=-\sin x.ã
Explicando por que, de forma didática: pela definição do limite da derivada,
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}.
Usa-se a identidade trigonométrica
\cos(x+h)-\cos x = -2\sin\!\Big(x+\frac{h}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{h}{2}\Big),
e nota-se que
\frac{\sin\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{h}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{\tfrac{h}{2}}\xrightarrow[h\to0]{}\frac{1}{2}.
Além disso \sin\!\big(x+\tfrac{h}{2}\big)\to\sin x quando h\to0. Combinando essas observações obtém-se g'(x)=-\sin x. (Isso é a demonstração clássica e basta lembrá-la para usar a fórmula com segurança.)

Passo 3

Derivada para x<0.
Para x<0 temos f(x)=\operatorname{Cos}(x). Usando a fórmula acima,
\text{para }x<0:\qquad f'(x)=-\sin x.
Comentário prático: isso significa que em qualquer ponto à esquerda de zero a derivada existe e vale -\sin x.

Passo 4

Derivada para x>0.
Para x>0 temos f(x)=\operatorname{Cos}(-x). Duas maneiras equivalentes de obter a derivada:
  1. Usar que o cosseno é função par: \cos(-x)=\cos x. Assim para x>0 a expressão é igual a \cos x e, portanto,
\text{para }x>0:\qquad f'(x)=-\sin x.
  1. Ou aplicar a regra da cadeia: se h(x)=\cos(u(x)) então h'(x)=-\sin(u(x))\cdot u'(x). Tomando u(x)=-x (com u'(x)=-1),
\frac{d}{dx}\cos(-x) = -\sin(-x)\cdot(-1)=\sin(-x).
E como \sin(-x)=-\sin x chegamos em f'(x)=-\sin x. Resultado idêntico ao método 1.
Conclusão: para x>0 também f'(x)=-\sin x.

Passo 5

Análise em x=0: continuidade e derivada.
Primeiro verificar continuidade em 0. Calcular o limite quando x\to0 (usando os ramos):
  • Se x\to0^- então f(x)=\cos x e \lim_{x\to0^-}f(x)=\cos 0=1.
  • Se x\to0^+ então f(x)=\cos(-x)=\cos x e \lim_{x\to0^+}f(x)=\cos 0=1.
Logo \lim_{x\to0}f(x)=1. Mas f(0)=0 (dado). Como o valor da função em 0 é diferente do limite, a função é descontínua em 0.
Lembrete conceitual usado: diferenciabilidade implica continuidade. Portanto, se uma função não é contínua num ponto, ela não pode ser diferenciável ali. Assim já podemos afirmar que f não é diferenciável em 0.
Para ilustrar com a definição da derivada, tente calcular diretamente o quociente de diferença:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)}{h}.
Para h\to0 temos f(h)=\cos h (se h positivo ou negativo), então
\frac{f(h)}{h}=\frac{\cos h}{h}.
Quando h\to0 esse quociente tende a infinito (porque \cos h\to1 e o denominador tende a 0), portanto o limite não existe finitamente. Isso confirma que a derivada em 0 não existe.

Passo 6

Resumo e interpretação final: nos dois ramos à esquerda e à direita, a função coincide com \cos x e tem derivada -\sin x. Em x=0 há falta de continuidade (valor da função é 0 mas limites laterais valem 1), logo não há derivada em 0.

Resposta

Para x<0:\; f'(x)=-\sin x
Para x=0:\; não existe
Para x>0:\; f'(x)=-\sin x

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