Questão 6: Determine a derivada, se existir, das funções nos pontos indicados a seguir:
f(x)=|x| \quad \mathrm{p}=0;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: f(x)=|x|.
  • Ponto indicado: p=0.
  • Pergunta: determinar a derivada de f no ponto p=0, ou seja, encontrar f'(0) quando existir.

Passo 2

Definição que vamos usar (a mais direta para prova): a derivada de f em um ponto p é o limite do quociente incremental, se existir:
f'(p)=\lim_{h\to0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}.
Explicando cada parte:
  • h é um número que tende a 0 e representa um pequeno deslocamento em x.
  • f(p+h)-f(p) é a variação de f causada por esse deslocamento.
  • Dividindo por h obtemos a taxa média de variação; o limite quando h\to0 é a taxa instantânea (a derivada).
    Também é útil lembrar que, para existir f'(p), os dois limites unilaterais devem existir e ser iguais:
\lim_{h\to0^+}\frac{f(p+h)-f(p)}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0^-}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}
devem existir e ser iguais.

Passo 3

Escrever f(x)=|x|\) de forma peça a peça (isso facilita as contas próximas de \(0\)): \[f(x)=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] x, & x>0. \end{cases}
A partir daqui, podemos calcular f(0)\] diretamente: \(f(0)=0.]

Passo 4

Calcular a derivada pela direita (limite quando h\to0^+).
Começamos com o quociente incremental em p=0:
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)-0}{h}=\frac{|h|}{h}.
Para h>0 temos |h|=h, então
\frac{|h|}{h}=\frac{h}{h}=1.
Portanto o limite pela direita é
\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}1=1.
Conclusão parcial: a derivada direita em 0 é 1.

Passo 5

Calcular a derivada pela esquerda (limite quando h\to0^-).
Novamente o quociente é \dfrac{|h|}{h}. Para h<0 temos |h|=-h, logo
\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Assim o limite pela esquerda é
\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}(-1)=-1.
Conclusão parcial: a derivada esquerda em 0 é -1.

Passo 6

Comparando os dois limites unilaterais obtidos:
  • limite à direita = 1,
  • limite à esquerda = -1.
    Como esses dois valores são diferentes, o limite total \lim_{h\to0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} não existe. Logo f não é diferenciável em 0.
Observação didática rápida e motivadora: apesar de não ser diferenciável em 0, f é contínua em 0 (porque \lim_{x\to0} |x|=0=f(0)). O que falha é a existência de uma única inclinação da reta tangente — geometricamente f tem um “canto” em 0, com inclinação -1 à esquerda e +1 à direita.

Resposta

f'(0) não existe.

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