Questão 6: Determine a derivada, se existir, das funções nos pontos indicados a seguir:
;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Ponto indicado:
. - Pergunta: determinar a derivada de
no ponto , ou seja, encontrar quando existir.
Passo 2
Definição que vamos usar (a mais direta para prova): a derivada de
em um ponto
é o limite do quociente incremental, se existir:
Explicando cada parte:
-
é um número que tende a e representa um pequeno deslocamento em . -
é a variação de causada por esse deslocamento. - Dividindo por
obtemos a taxa média de variação; o limite quando é a taxa instantânea (a derivada).
Também é útil lembrar que, para existir, os dois limites unilaterais devem existir e ser iguais:
devem existir e ser iguais.
Passo 3
Escrever
A partir daqui, podemos calcular
.]
Passo 4
Calcular a derivada pela direita (limite quando
).
Começamos com o quociente incremental em :
Começamos com o quociente incremental em
Para
temos
, então
Portanto o limite pela direita é
Conclusão parcial: a derivada direita em
é
.
Passo 5
Calcular a derivada pela esquerda (limite quando
).
Novamente o quociente é . Para
temos
, logo
Novamente o quociente é
Assim o limite pela esquerda é
Conclusão parcial: a derivada esquerda em
é
.
Passo 6
Comparando os dois limites unilaterais obtidos:
- limite à direita =
, - limite à esquerda =
.
Como esses dois valores são diferentes, o limite totalnão existe. Logo não é diferenciável em .
Observação didática rápida e motivadora: apesar de não ser diferenciável em
,
é contínua em
(porque
). O que falha é a existência de uma única inclinação da reta tangente — geometricamente
tem um “canto” em
, com inclinação
à esquerda e
à direita.