Questão 6: Determine a derivada, se existir, das funções nos pontos indicados a seguir: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x^{2}, & \text { se } x \leq 2 ; \\\\ 8 x-8, & \text { se } x>2 ;\end{array} \mathrm{p}=2 ;\right.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes e pede a derivada no ponto indicado:
A função é f(x)=\begin{cases}2x^{2}, & \text{se } x\le 2,\\[4pt] 8x-8, & \text{se } x>2.\end{cases}
O ponto pedido é p=2.
O que se pede: determinar f'(2), se essa derivada existir.]
Passo 2
Lembrete didático: a derivada de f num ponto a é o limite da taxa de variação média quando o incremento h vai a zero:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Para funções definidas por partes, costuma-se verificar separadamente os limites laterais (pela esquerda e pela direita):
A derivada existe em a se, e somente se, esses dois limites laterais existirem e forem iguais.
Passo 3
Antes de calcular as derivadas laterais, é útil checar continuidade em x=2 (pois derivável implica contínua). Calcular f(2) e os limites laterais de f em 2.
Como a definição para x\le 2 vale em x=2, tem-se
f(2)=2\cdot 2^{2}=2\cdot 4=8.
Limite pela direita (usando a expressão para x>2): ao aproximar x de 2 por valores maiores,
Conclusão: os dois limites laterais e o valor em 2 coincidem; portanto f é contínua em x=2. Isso é uma boa notícia — não garante derivabilidade, mas é necessária.
Passo 4
Calcular a derivada pela esquerda em 2 usando a definição (tomando h\to0^-, então 2+h\le 2 e usa-se a peça 2x^{2}):
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{2(2+h)^{2}-8}{h}.
Expandindo (2+h)^{2}=4+4h+h^{2} e multiplicando por 2: