Questão 6: Determine a derivada, se existir, das funções nos pontos indicados a seguir:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x^{2}, & \text { se } x \leq 2 ; \\\\ 8 x-8, & \text { se } x>2 ;\end{array} \mathrm{p}=2 ;\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes e pede a derivada no ponto indicado:
  • A função é f(x)=\begin{cases}2x^{2}, & \text{se } x\le 2,\\[4pt] 8x-8, & \text{se } x>2.\end{cases}
  • O ponto pedido é p=2.
    O que se pede: determinar f'(2), se essa derivada existir.]

Passo 2

Lembrete didático: a derivada de f num ponto a é o limite da taxa de variação média quando o incremento h vai a zero:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Para funções definidas por partes, costuma-se verificar separadamente os limites laterais (pela esquerda e pela direita):
f'_-(a)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
A derivada existe em a se, e somente se, esses dois limites laterais existirem e forem iguais.

Passo 3

Antes de calcular as derivadas laterais, é útil checar continuidade em x=2 (pois derivável implica contínua). Calcular f(2) e os limites laterais de f em 2.
  • Como a definição para x\le 2 vale em x=2, tem-se
f(2)=2\cdot 2^{2}=2\cdot 4=8.
  • Limite pela direita (usando a expressão para x>2): ao aproximar x de 2 por valores maiores,
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(8x-8)=8\cdot 2-8=16-8=8.
  • Limite pela esquerda (usando a expressão para x\le2): ao aproximar x de 2 por valores menores,
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}2x^{2}=2\cdot 2^{2}=8.
Conclusão: os dois limites laterais e o valor em 2 coincidem; portanto f é contínua em x=2. Isso é uma boa notícia — não garante derivabilidade, mas é necessária.

Passo 4

Calcular a derivada pela esquerda em 2 usando a definição (tomando h\to0^-, então 2+h\le 2 e usa-se a peça 2x^{2}):
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{2(2+h)^{2}-8}{h}.
Expandindo (2+h)^{2}=4+4h+h^{2} e multiplicando por 2:
2(2+h)^{2}=2(4+4h+h^{2})=8+8h+2h^{2}.
Substituindo,
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{8+8h+2h^{2}-8}{h}=\frac{8h+2h^{2}}{h}=8+2h.
Agora tomar o limite quando h\to0^-:
f'_-(2)=\lim_{h\to0^-}(8+2h)=8.

Passo 5

Calcular a derivada pela direita em 2 usando a definição (para h\to0^+ a peça aplicável é 8x-8):
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{8(2+h)-8-8}{h} =\frac{16+8h-8-8}{h} =\frac{8h}{h}=8.
Tomando o limite h\to0^+ obtemos
f'_+(2)=\lim_{h\to0^+}8=8.

Passo 6

Comparando as derivadas laterais:
f'_-(2)=8\quad\text{e}\quad f'_+(2)=8.
Como os dois limites laterais existem e são iguais, a derivada de f em 2 existe e vale 8.

Resposta

f'(2)=8

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