Questão 4 - Determine a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}, P_{2} e P_{3} e cada um dos casos. P_{1}=(4,0,-3), P_{2}=(1,0,1) \mathrm{e} P_{3}=(-1,2,3).
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}=(4,0,-3), P_{2}=(1,0,1) e P_{3}=(-1,2,3). Para isso, precisamos:
Calcular dois vetores diretores do plano, por exemplo \vec v=P_{2}-P_{1} e \vec w=P_{3}-P_{1}.
Determinar o vetor normal \vec n ao plano via produto vetorial \vec v\times\vec w.
Usar \vec n e um dos pontos para escrever a equação \vec n\cdot(\,(x,y,z)-P_{1})=0 e depois simplificar.
Passo 2
Calculemos os vetores diretores:
\vec v = P_{2}-P_{1} = (1-4,\;0-0,\;1-(-3)) = (-3,\,0,\,4),
\vec w = P_{3}-P_{1} = (-1-4,\;2-0,\;3-(-3)) = (-5,\,2,\,6).
Passo 3
O vetor normal \vec n é dado por
\vec n = \vec v \times \vec w = \det\begin{pmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -3 & 0 & 4\\\\ -5 & 2 & 6 \end{pmatrix} = (-8,\,-2,\,-6).
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
\vec n = (4,\,1,\,3).
Passo 4
A equação do plano com normal \vec n=(4,1,3) que passa por P_{1}=(4,0,-3) é