Questão 4 - Determine a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}, P_{2} e P_{3} e cada um dos casos.
P_{1}=(4,0,-3), P_{2}=(1,0,1) \mathrm{e} P_{3}=(-1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}=(4,0,-3), P_{2}=(1,0,1) e P_{3}=(-1,2,3). Para isso, precisamos:
  1. Calcular dois vetores diretores do plano, por exemplo \vec v=P_{2}-P_{1} e \vec w=P_{3}-P_{1}.
  2. Determinar o vetor normal \vec n ao plano via produto vetorial \vec v\times\vec w.
  3. Usar \vec n e um dos pontos para escrever a equação \vec n\cdot(\,(x,y,z)-P_{1})=0 e depois simplificar.

Passo 2

Calculemos os vetores diretores:
\vec v = P_{2}-P_{1} = (1-4,\;0-0,\;1-(-3)) = (-3,\,0,\,4),
\vec w = P_{3}-P_{1} = (-1-4,\;2-0,\;3-(-3)) = (-5,\,2,\,6).

Passo 3

O vetor normal \vec n é dado por
\vec n = \vec v \times \vec w = \det\begin{pmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -3 & 0 & 4\\\\ -5 & 2 & 6 \end{pmatrix} = (-8,\,-2,\,-6).
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
\vec n = (4,\,1,\,3).

Passo 4

A equação do plano com normal \vec n=(4,1,3) que passa por P_{1}=(4,0,-3) é
4\bigl(x-4\bigr)+1\bigl(y-0\bigr)+3\bigl(z+3\bigr)=0.

Passo 5

Expandindo e reorganizando:
4x-16+y+3z+9=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x+y+3z-7=0.

Resposta

A equação do plano é
4x + y + 3z - 7 = 0.

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