Questão 4 - Determine a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}, P_{2} e P_{3} e cada um dos casos.
P_{1}=(-1,1 / 2,3), P_{2}=(0,3,0) \mathrm{e} P_{3}=(-1,-2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos \,P_{1}=(-1,\tfrac12,3), \,P_{2}=(0,3,0) e \,P_{3}=(-1,-2,3).
O conteúdo necessário é a equação vetorial do plano dado por
n\cdot\bigl((x,y,z)-P_{1}\bigr)=0
onde n é um vetor normal ao plano, obtido como produto vetorial de dois vetores diretores.

Passo 2

Calculamos dois vetores diretores do plano a partir de P_{1}:
v = P_{2} - P_{1} = \bigl(1,\;3-\tfrac12,\;0-3\bigr) = \Bigl(1,\;\tfrac52,\;-3\Bigr),
w = P_{3} - P_{1} = \bigl(0,\;-2-\tfrac12,\;3-3\bigr) = \Bigl(0,\;-\tfrac52,\;0\Bigr).

Passo 3

Obtemos o vetor normal n = v \times w usando a fórmula
n = \bigl(v_y w_z - v_z w_y,\;v_z w_x - v_x w_z,\;v_x w_y - v_y w_x\bigr).
Substituindo,
n = \Bigl(\tfrac52\cdot0 - (-3)\cdot(-\tfrac52),\;-3\cdot0 - 1\cdot0,\;1\cdot(-\tfrac52)-\tfrac52\cdot0\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{15}{2},\,0,\,-\tfrac{5}{2}\Bigr).
Multiplicando por -2 (para eliminar frações e sinal):
n = (15,\;0,\;5).
Podemos simplificar dividindo por 5:
n = (3,\;0,\;1).

Passo 4

A equação do plano com normal n=(3,0,1) e passando por P_{1}=(-1,\tfrac12,3) é
3\bigl(x+1\bigr) + 0\bigl(y-\tfrac12\bigr) + 1\bigl(z-3\bigr) = 0.

Passo 5

Distribuindo e simplificando:
3x + 3 + z - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + z = 0.

Resposta

A equação do plano determinado por P_{1}, P_{2} e P_{3} é
3x + z = 0.

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