Questão 4 - Determine a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}, P_{2} e P_{3} e cada um dos casos.
P_{1}=(0,1,1), P_{2}=(1,0,1) \mathrm{e} P_{3}=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos três pontos
P_{1}=(0,1,1),\quad P_{2}=(1,0,1),\quad P_{3}=(1,1,0).
O conteúdo que vamos usar é geometria analítica no espaço: para achar o plano usamos um vetor normal obtido pelo produto vetorial de dois vetores diretores do plano, e depois aplicamos a forma
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})=0.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores dois vetores que ligam P_{1} a P_{2} e P_{1} a P_{3}:
\mathbf{u}=P_{2}-P_{1}=(1-0,\;0-1,\;1-1)=(1,-1,0),
\mathbf{v}=P_{3}-P_{1}=(1-0,\;1-1,\;0-1)=(1,0,-1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}, que será normal ao plano:
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} =\mathbf{i}\,( (-1)(-1)-0\cdot0 ) -\mathbf{j}\,(1\cdot(-1)-0\cdot1) +\mathbf{k}\,(1\cdot0-(-1)\cdot1) =(1,1,1).

Passo 4

Usamos a forma do plano com ponto P_{1} e normal \mathbf{n}=(1,1,1):
\mathbf{n}\cdot(\,(x,y,z)-(0,1,1)\,)=0.
Isso dá
1\,(x-0)+1\,(y-1)+1\,(z-1)=0
\Rightarrow x+y-1+z-1=0
\Rightarrow x+y+z-2=0.

Resposta

A equação do plano é
x+y+z=2.

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