Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
]
Passo 1
O enunciado pede a diferenciabilidade e a derivada da função
O conteúdo necessário envolve (1) determinar o domínio de uma função logarítmica com base e argumento variáveis e (2) usar a regra do quociente para derivar
Passo 2
Para que
esteja bem definida precisamos de duas condições:
- Argumento positivo:
. - Base positiva e diferente de 1:
Combinando, o domínio é
Passo 3
Reescrevendo em logaritmo natural, temos
Note que em todo o domínio
e
.
Passo 4
Como
e
são diferenciáveis em
e
não se anula ali,
é diferenciável em todo o domínio encontrado.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente,
Como
e
, obtemos
Uma forma mais condensada é
Resposta
A função é diferenciável para
e sua derivada é