Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 ]
f(x)=log (x+1)(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a diferenciabilidade e a derivada da função
f(x)=log,x+1l(x^2r)
O conteúdo necessário envolve (1) determinar o domínio de uma função logarítmica com base e argumento variáveis e (2) usar a regra do quociente para derivar
f(x)=lnl(x^2r)ln(x+1)

Passo 2

Para que logx+1(x^2) esteja bem definida precisamos de duas condições:
  1. Argumento positivo: x^2>0Rightarrow xneq0.
  2. Base positiva e diferente de 1: x+1>0;Rightarrow;x>-1, x+1neq1;Rightarrow;xneq0
Combinando, o domínio é
(-1,0);cup;(0,infty)

Passo 3

Reescrevendo em logaritmo natural, temos
f(x)=lnl(x^2r)ln(x+1)
Note que em todo o domínio lnl(x^2r)=2lnlvert xrvert e ln(x+1)neq0.

Passo 4

Como ln(x^2) e ln(x+1) são diferenciáveis em (-1,0)cup(0,infty) e ln(x+1) não se anula ali, f é diferenciável em todo o domínio encontrado.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =l(ln(x+1)r),ddxl[ln(x^2)r] -l(ln(x^2)r),ddxl[ln(x+1)r] l[ln(x+1)r]^2
Como ddxln(x^2)=2xx^2=2x e ddxln(x+1)=1x+1, obtemos
f'(x) = ln(x+1),2x -2lnlvert xrvert,1x+1 l[ln(x+1)r]^2 =2,ln(x+1)/x-2,lnlvert xrvert/(x+1)ln(x+1)^2
Uma forma mais condensada é
boxed f'(x) =2l((x+1)ln(x+1)-xlnlvert xrvertr) x(x+1),l[ln(x+1)r]^2

Resposta

A função é diferenciável para
xin(-1,0)cup(0,infty),
e sua derivada é
f'(x) =2l((x+1)ln(x+1)-xlnlvert xrvertr) x(x+1),l[ln(x+1)r]^2

Exercícios relacionados