Considere a seguinte EDO
- Verifique se essa EDO é exata. Em caso afirmativo, calcule a função
cujas curvas de nível são as soluções dessa EDO e a avalie no ponto
.
Coloque sua resposta aqui:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede (1) verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, (2) achar a função
cujas curvas de nível são as soluções e (3) avaliar
em
. Vamos usar o teste de exatidão e a integração de
em
.
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma
Como temos
multiplicamos ambos os lados por
e passamos tudo para a forma
. Assim
Passo 3
Verificamos a exatidão conferindo se
Calculamos
Como coincidem, a EDO é exata.
Passo 4
Para achar
tal que
, integramos
em
:
Fazendo as integrais,
Logo
Passo 5
Impondo
temos
Isso dá
, logo
é constante, que podemos absorver na constante de integração.
Passo 6
Portanto
é a função potencial cujas curvas de nível resolvem a EDO. Agora avaliamos em
: