Considere a seguinte EDO
(4 x^5+16 x y^3-2 sen(x) sen(y)) d yd x=-20 x^4 y-4 y^4-2 cos (x) cos (y)
  • Verifique se essa EDO é exata. Em caso afirmativo, calcule a função f(x, y) cujas curvas de nível são as soluções dessa EDO e a avalie no ponto (x=pi2, y=0).
Coloque sua resposta aqui: f(x=pi2, y=0)= square

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
l(4x^5+16xy^3-2sin(x)sin(y)r)dydx=-20x^4y-4y^4-2cos(x)cos(y)
e pede (1) verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, (2) achar a função f(x,y) cujas curvas de nível são as soluções e (3) avaliar f em l(x=tfracpi2,;y=0r). Vamos usar o teste de exatidão e a integração de M(x,y) em x.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Como temos
l(4x^5+16xy^3-2sin(x)sin(y)r)dydx =-20x^4y-4y^4-2cos(x)cos(y),
multiplicamos ambos os lados por dx e passamos tudo para a forma M,dx+N,dy=0. Assim
M(x,y)=-l(-20x^4y-4y^4-2cos(x)cos(y)r) =20x^4y+4y^4+2cos(x)cos(y),
N(x,y)=4x^5+16xy^3-2sin(x)sin(y)

Passo 3

Verificamos a exatidão conferindo se
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculamos
partial Mpartial y =20x^4+16y^3-2cos(x)sin(y),
partial Npartial x =20x^4+16y^3-2cos(x)sin(y)
Como coincidem, a EDO é exata.

Passo 4

Para achar f(x,y) tal que partial f/partial x = M, integramos M em x:
f(x,y) =integrall(20x^4y+4y^4+2cos(x)cos(y)r),dx + h(y)
Fazendo as integrais,
integral20x^4y,dx=4x^5y, integral4y^4,dx=4xy^4, integral2cos(x)cos(y),dx=2sin(x)cos(y)
Logo
f(x,y)=4x^5y+4xy^4+2sin(x)cos(y)+h(y)

Passo 5

Impondo partial f/partial y=N temos
partial fpartial y =4x^5+16xy^3-2sin(x)sin(y)+h'(y) = 4x^5+16xy^3-2sin(x)sin(y)
Isso dá h'(y)=0, logo h é constante, que podemos absorver na constante de integração.

Passo 6

Portanto
f(x,y)=4x^5y+4xy^4+2sin(x)cos(y)
é a função potencial cujas curvas de nível resolvem a EDO. Agora avaliamos em l(x=tfracpi2,;y=0r):
fl(tfracpi2,0r) =4l(tfracpi2r)^5cdot0 +4l(tfracpi2r)cdot0^4 +2sinl(tfracpi2r)cos(0) =2cdot1cdot1 =2

Resposta

fl(tfracpi2,0r)=2.

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