Questāo 1. Determine \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)\), sendo \(f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^{2}-4} & \text { se } x<2 \\\ \frac{3}{x-3} & \text { se } 2 \leq x \leq 5 \\\ \frac{1}{x-5} & \text { se } 5<x\end{cases}
a -\infty
(b) -5
c \infty
d 1
(e) -\frac{1}{4}
f 0
[g] 3

Passo 1

O enunciado fornece a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}-4}, & \text{se } x<2,\\[6pt] \dfrac{3}{x-3}, & \text{se } 2\le x\le 5,\\[6pt] \dfrac{1}{x-5}, & \text{se } 5<x, \end{cases}
e pede para determinar \lim_{x\to 3^{-}} f(x) (limite quando x se aproxima de 3 pela esquerda). As alternativas oferecidas são:
(a) -\infty, (b) -5, (c) \infty, (d) 1, (e) -\tfrac{1}{4}, (f) 0, (g) 3.]

Passo 2

Identificar qual ramo da função vale para valores de x que se aproximam de 3 pela esquerda. Valores de x com x<3 e próximos de 3 ainda satisfazem 2\le x\le 5. Portanto, para uma vizinhança à esquerda de 3 devemos usar a expressão
f(x)=\frac{3}{x-3}.

Passo 3

Explicar a ideia de limite quando o denominador tende a zero: se uma função tem a forma \dfrac{A}{B(x)} com A não nulo e B(x)\to 0, então o quociente tende a infinito em módulo. O sinal (mais infinito ou menos infinito) é determinado pelo sinal do denominador quando ele se aproxima de zero. Aqui, A=3 é positivo, então o sinal final será o oposto do sinal de x-3.

Passo 4

Fazer a análise de sinal e o cálculo do limite. Se x\to 3^{-} então x-3\to 0^{-} (um número negativo muito pequeno). Substituindo,
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{3}{x-3}.
Como x-3 tende a 0 pela esquerda (negativo), o quociente \dfrac{3}{x-3} tem numerador positivo e denominador negativo muito pequeno, logo seu valor fica negativo com módulo crescendo sem limite. Em símbolos: \dfrac{3}{x-3}\to -\infty.
Exemplo numérico para intuir: se x=2{,}9 então f(x)=\dfrac{3}{-0{,}1}=-30; se x=2{,}99 então f(x)=-300. Conforme x se aproxima de 3 pela esquerda, os valores caem para números negativos com magnitude crescente — tendência a -\infty. Força aí, você já viu a ideia fundamental: denominar pequeno e sinal do denominador manda no infinito!

Resposta

(a) -\infty

Exercícios relacionados