Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+(x+1) y=x, \\\ y(\ln 2)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede.
  • Equação dada: x\,y^{\prime}+(x+1)\,y=x.
  • Condição inicial: y(\ln 2)=1.
  • O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O coeficiente da derivada é x, então x\neq 0 é necessário para podermos dividir por x.
  • A condição inicial ocorre em x=\ln 2, que é positivo e diferente de zero; portanto é legítimo dividir por x no intervalo que contém \ln 2 (podemos trabalhar com x>0).

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma padrão para tratá‑la passo a passo. Dividindo a equação original por x (válido porque a condição inicial tem x=\ln 2\neq0) obtemos:
y' + \left(1+\frac{1}{x}\right)y = 1.
Aqui interpretamos y' como a derivada de y em relação a x. A ideia é reconhecer que a equação está na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
com p(x)=1+\dfrac{1}{x} e q(x)=1. A técnica padrão para esse tipo de equação é usar um fator integrante (integrating factor) para transformar o lado esquerdo numa derivada de produto.

Passo 3

Fator integrante: é uma função \mu(x) definida por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
No nosso caso
\mu(x)=\exp\!\left(\int\left(1+\frac{1}{x}\right)dx\right).
Calcule a integral:
\int\left(1+\frac{1}{x}\right)dx = \int 1\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx = x + \ln|x| + C.
Assim (desprezando a constante multiplicativa irrelevante) temos
\mu(x)=e^{x+\ln|x|}=e^{x}\,|x|.
Como a condição inicial está em x=\ln 2>0, podemos escolher o intervalo com x>0 e então |x|=x. Portanto, no intervalo de interesse,
\mu(x)=x\,e^{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x e^{x} obtemos
x e^{x}\,y' + x e^{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)y = x e^{x}\cdot 1.
Simplificando o termo do meio:
x e^{x}\,y' + (x+1)e^{x}\,y = x e^{x}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x e^{x})y, pois
\frac{d}{dx}\big((x e^{x})y\big) = (x e^{x})y' + (x e^{x})' y
e (x e^{x})' = e^{x} + x e^{x} = (x+1)e^{x}. Logo a equação vira
\frac{d}{dx}\big((x e^{x})y\big) = x e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
(x e^{x})y = \int x e^{x}\,dx + C.
Agora calculamos \int x e^{x}\,dx por integração por partes. Tomando u=x e dv=e^{x}dx, então du=dx e v=e^{x}. Assim
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.
Portanto
(x e^{x})y = e^{x}(x-1) + C.

Passo 6

Isolando y:
y = \frac{e^{x}(x-1) + C}{x e^{x}} = \frac{x-1}{x} + \frac{C}{x e^{x}} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{C}{x e^{x}}.
Agora aplicamos a condição inicial y(\ln 2)=1. Substituindo x=\ln 2 e e^{\ln 2}=2:
1 = 1 - \frac{1}{\ln 2} + \frac{C}{(\ln 2)\,2}.
Subtraindo 1 dos dois lados e isolando C:
0 = -\frac{1}{\ln 2} + \frac{C}{2\ln 2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{C}{2\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \quad\Longrightarrow\quad C = 2.

Passo 7

Substituindo C=2 na expressão geral obtemos a solução particular:
y(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x e^{x}}.
Lembrete final: essa solução foi obtida assumindo x>0 (isso é compatível com a condição inicial em x=\ln 2). A função acima é, portanto, a solução do problema de valor inicial no intervalo onde x>0.

Resposta

y(x)=1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x e^{x}},\quad x>0

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