Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede.
- Equação dada:
- Condição inicial:
- O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O coeficiente da derivada é
, então é necessário para podermos dividir por . - A condição inicial ocorre em
, que é positivo e diferente de zero; portanto é legítimo dividir por no intervalo que contém (podemos trabalhar com ).
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma padrão para tratá‑la passo a passo. Dividindo a equação original por
(válido porque a condição inicial tem
) obtemos:
Aqui interpretamos
como a derivada de
em relação a
. A ideia é reconhecer que a equação está na forma
com
e
. A técnica padrão para esse tipo de equação é usar um fator integrante (integrating factor) para transformar o lado esquerdo numa derivada de produto.
Passo 3
Fator integrante: é uma função
definida por
No nosso caso
Calcule a integral:
Assim (desprezando a constante multiplicativa irrelevante) temos
Como a condição inicial está em
, podemos escolher o intervalo com
e então
. Portanto, no intervalo de interesse,
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Simplificando o termo do meio:
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
e
. Logo a equação vira
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
Agora calculamos
por integração por partes. Tomando
e
, então
e
. Assim
Portanto
Passo 6
Isolando
:
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Subtraindo
dos dois lados e isolando
:
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular:
Lembrete final: essa solução foi obtida assumindo
(isso é compatível com a condição inicial em
). A função acima é, portanto, a solução do problema de valor inicial no intervalo onde
.